Encabezado Facultad de Ciencias
Presentación

Matemáticas (plan 1983) 2025-1

Optativas de los Niveles V y VI, Álgebra Moderna II

Grupo 4373, 65 lugares.
Profesor Jaime Alejandro García Villeda lu mi vi 19 a 20
Ayudante Carlos Oldair Renteria Garcia ma ju 19 a 20

 
El objetivo del curso es dar una introducción a la teoría de campos y la teoría de Galois, que son el pilar fundamental de lo que se conoce como álgebra moderna, área que nació del célebre teorema sobre la insolubilidad por radicales de las ecuaciones de grado mayor cinco, demostrado por Évariste Galois en el siglo XIX. Contrastando con la primera formulación de la teoría, muchas de las ideas básicas de la teoría se han vuelto más sistemáticas y han alcanzado un alto grado de generalidad gracias a los trabajos de Emil Artin, quien en su famoso libro de texto dio la primera formulación moderna de dicha teoría. En sus palabras: "Desde mi juventud matemática he estado bajo la influencia del hechizo de la teoría clásica de Galois. Este encanto me ha forzado a regresar a esta una y otra vez, y tratar de probar sus teoremas fundamentales".
Esta frase pone en manifiesto una idea que el mismo Artin mencionó a lo largo de su vida, y que es quizá la motivación más profunda que lo llevó a fundamentar y formalizar la teoría clásica de Galois para campos. Artin afirmaba que la fuerza de esta teoría no radicaba en sus teoremas de imposibilidad como los tres problemas griegos clásicos o del famoso resultado de Galois mencionado, lo realmente importante eran las ideas involucradas en esta, en particular la forma en la que se explota el teorema fundamental de la teoría para establecer un diccionario entre dos estructuras algebraicas (grupos y campos), así que el ambicioso objetivo del curso será presentar dichas ideas fundamentales. Para lograr nuestro objetivo será necesario dar una introducción a la teoría de anillos, por lo que la primera parte del curso estará dedicada a dar los conceptos e ideas básicas de esta (ver tema 1), que a pesar de nos centraremos en el caso de anillos conmutativos, daremos algunas definiciones de carácter general, con el objetivo de ver las complicaciones de plantear una teoría así. Después de dar dicha introducción que nos permitirá fijar cierta notación y tener a la mano algunas construcciones, pasaremos a dar una introducción a la teoría de campos, orientada a el concepto de extensión, estudiar algunas extensiones especiales de las cuales discutiremos su trasfondo, con el fin de obtener intuición de ellas (ver tema 2). Para concluir, en un tercer y último tema, estableceremos el teorema principal la teoría de Galois, que se conoce como el Teorema Fundamental de la Teoría de Galois (TFTG), que establece una biyección entre ciertas subextensiones de campo de una extensión (de Galois) dada, con los subgrupos del grupo de Galois de dicha extensión. Además de demostrar este resultado, daremos las aplicaciones más importantes de este, como lo son la construcción de los campos finitos y trataremos el problema de la solubilidad por radicales desde el lenguaje que hemos desarrollado. Dependiendo de el tiempo disponible y el interés de los alumnos, daremos otro tipo de aplicaciones básicas de la teoría.
Dinámica del curso
El curso será presencial, y la logística es la canónica de los cursos teóricos de la facultad, sin embargo, tanto Carlos como yo daremos los temas del curso y haremos ejercicios cuando sea necesario. Para comunicarnos usaremos la plataforma classroom, el enlace es: TBA
Además de la bibliografía que aparece en la sección de referencias, iré escribiendo algunas notas del curso para tener apuntes del material visto en clase, así como para uniformizar notación y tener un catálogo de resultados. Además daremos más bibliografía conforme vaya avanzando el semestre.
Temario
1. Teoría de Anillos
  • Anillos, Subanillos e ideales
  • Morfismos de anillos
  • Dominios enteros especiales
  • Ideales maximales y primos
  • El anillo de fracciones
  • El anillo de polinomios

2. Teoria de Campos

  • Extensiones de campos e ideas básicas
  • Extensiones algebraicas
  • Construcciones con regla y compás
  • Campos de descomposición y extensiones normales
  • Extensiones separables
  • Extensiones de Galois y teorema de caracterización de extensiones de Galois finitas
3. Teoría de Galois
  • Teorema Fundamental de la Teoría de Galois (para extensiones finitas)
  • Aplicación 1: Campos finitos
  • Aplicación 2: Extensiones radicales y solubilidad
  • Más aplicaciones: Extensiones cíclicas y abelianas, el problema inverso de la teoría de Galois y todo lo que se pueda según el tiempo :)
Evaluación
El curso se va a evaluar con tareas-examen y un trabajo final. Todas las evaluaciones se entregan de forma presencial.
Las características específicas de estas evaluaciones son:
  • Habrá 2 tareas-examen, una para evaluar el tema 1 y otra para el tema 2, incluyendo el TFTG. Para estas tendrán al menos dos semanas antes de la fecha de entrega de cada una para que las vayan trabajando.
  • El trabajo final pretendemos que sea una exposición o un trabajo escrito, donde el alumno desarrolle algún tópico de teoría de campos o teoría de anillos, que use las herramientas desarrolladas en el curso o se inspire en ellas. Respeto a los posibles temas, daremos una lista lo más pronto posible con algunas propuestas, aunque el alumno también puede proponernos algún tema para exponer, sin embargo este tendrá que ser aprobado por los profesores.
  • La calificación del curso se obtendrá mediante el promedio de las tres evaluaciones, y las calificaciones que aparecerán en actas siguen la regla estándar para redondear promedios.

Referencias:

No seguiremos ningún libro al pie de la letra (de hecho esta es otra razón por la que quiero hacer notas), pero todos los temas del curso aparecen en el libro Fraleigh, sin embargo, esta referencia es un poco básica, así que servirá principalmente de guía. Para la parte de anillos conmutativos, es casi obligado incluir el libro Atiyah. Para campos nos centraremos a nivel de ideas en el libro de Artin y mezclaremos el material con el libro de Morandi.

  1. Michael F. Atiyah and I. G. Macdonald. Introduction to commutative algebra. Boulder: Westview Press, student economy edition edition, 2016
  2. Emil Artin. Galois theory. Edited and with a supplemental chapter by Arthur N. Milgram. Mineola, NY: Dover Publications, reprint of the 1944 second edition edition, 1998.
  3. John B. Fraleigh. A first course in abstract algebra. Historical notes by Victor Katz. Reading, MA: Addison-Wesley, 6th ed. edition, 1999.

  4. Patrick Morandi. Field and Galois theory, volume 167 of Grad. Texts Math. New York, NY: Springer, 1996.

    Cualquier duda que tengan respecto a la evaluación y dinámica del curso la trataremos la primera sesión.

 


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