Matemáticas (plan 1983) 2025-1

Sexto Semestre, Análisis Matemático II

Análisis Matemático II

El análisis matemático es el estudio de espacios de funciones. En el curso de Análisis Matemático I se estudia el espacio de funciones continuas C(X) con la norma del supremo o de convergencia uniforme. Aunque este espacio ofrece numerosos resultados interesantes, quedan algunas preguntas sin responder;

-La integral y el límite conmutan bajo convergencia uniforme, sin embargo, existen casos donde esta conmutación ocurre incluso sin convergencia uniforme. ¿Se pueden dar condiciones más generales para conmutar límite e integral?

-Las funciones continuas no son las únicas funciones en un espacio, ¿podemos darle alguna estructura topológica a algún espacio de funciones no regulares en X?

-Los funcionales lineales y continuos en C([a,b]) se pueden representar por medio de la integral de Riemann-Stiletjes, pero ¿qué sucede en un espacio abstracto X en vez de [a,b]?

Todas estas preguntas están relacionadas con la necesidad de generar una teoría de integración más avanzada que la abordada en los cursos básicos de cálculo. En particular, es necesario desarrollar la integral en espacios abstractos X y no sólo en los espacios euclidianos R^n. En este curso estudiaremos los conceptos básicos de teoría de la medida, que es la teoría general de integración en espacios abstractos. En el marco de esta teoría desarrollaremos la integral de Lebesgue y otras medidas importantes de uso común, tanto dentro como fuera del Análisis Matemático. A partir de esto estudiaremos algunos espacios de funciones relacionados con la integral, como los espacios de funciones p-integrables L^p y los espacios de sobolev W^k,p.

Los temas a cubrirse son los siguientes:

1. - Medidas y Funciones Medibles

2. - Integral

3. - Generación de Medidas

4. - Introducción a Espacios de Sobolev

La evaluación del curso será por medio de dos exámenes y cuatro tareas. A cada tema le corresponde una tarea, pero sólo realizaremos examen para los primeros dos temas. Utilizaremos un grupo de Google Classroom para anuncios, tareas y material complementario.

Código de Google Classroom:

Las referencias más sencillas para iniciarse en el estudio de teoría de la medida son los libros de Bartle, Grabinsky, Axler y Sandoval-Reyna. Libros más completos pero difíciles que nos serán de ayuda son los libros de Rudin, Royden, Folland, Ash y Salamon.

Cualquier duda o comentario siéntanse libres de escribirnos a nuestros correos:

Profesor Luis Antonio Cedeño: luisacp@ciencias.unam.mx

Ayudante Jeanett Monroy Anzueto: jeanett_monroy@ciencias.unam.mx

Bibliografía:

Bibliografía Recomendada:

- Robert G. Bartle, “The Elements of Integration and Lebesgue Measure”, John Wiley & Sons, 1995.

- Guillermo Grabinsky, “Teoría de la Medida”, Facultad de Ciencias- UNAM, 2000, reimpresión 2013.

-Sheldon Axler, "Measure, Integration & Real Analysis", Springer, 2020.

- María de los Ángeles Sandoval Romero, Hugo Reyna Castañeda, “Una Introducción a la Teoría de la Medida”, (Aún no se publican).

Bibliografía Avanzada:

- Walter Rudin, “Real and Complex Analysis”, McGrawhill, 1987.

- H. L. Royden, “Real Analysis”, Pearson, 2009.

- Gerald B. Folland, “Real Analysis. Modern Techniques and Their Applications”, John Wiley & Sons, 1999.

- Robert B. Ash, "Real Analysis and Probability", Academic Press, 1972

-Dietmar A. Salamon, "Measure and Integration", European Mathematical Society, 2010.