Matemáticas Aplicadas (plan 2017) 2025-1

Computación Científica, Solución Numérica de Ecuaciones Diferenciales Parciales

Solución Numérica de Ecuaciones Diferenciales Parciales

Métodos Numéricos

• Introducción a los métodos numéricos y su importancia en la solución de EDPs.
• Método de Euler: Fundamentos y aplicaciones.
• Método de Newton: Resolución de ecuaciones no lineales.
• Integración numérica: Reglas del trapecio y Simpson.
• Interpolación: Polinomios de Lagrange y splines.
• Introducción a Python y sus librerías: NumPy, SciPy y Matplotlib.

Introducción a las EDPs y métodos numéricos

• Introducción a las EDPs en una dimensión: Definiciones y ejemplos.
• Métodos numéricos: Diferencias finitas vs. elementos finitos.
• Introducción al método de elementos finitos (MEF) en 1D.
• Fundamentos del análisis de errores.

Fundamentos del Método de Elementos Finitos en 1D

• Formulación variacional de EDPs en 1D.
• Espacios de funciones y aproximaciones en MEF.
• Funciones base y discretización en 1D.
• Ensamblaje de matrices y vectores en MEF.

La Ecuación de Poisson y Laplace en 1D

• Formulación de la ecuación de Poisson en 1D.
• Implementación del método de elementos finitos para la ecuación de Poisson en 1D.
• Resolución de problemas de la ecuación de Laplace en 1D.
• Ejercicios prácticos y ejemplos de aplicaciones.

La Ecuación del Calor en 1D

• Introducción a la ecuación del calor en 1D.
• Discretización temporal: Método de Crank-Nicolson y otros esquemas.
• Implementación del MEF para la ecuación del calor en 1D.
• Simulaciones y análisis de resultados.

Ecuaciones de Reacción-Difusión en 1D

• Modelado de procesos de reacción-difusión en 1D.
• Formulación y discretización usando MEF en 1D.
• Análisis de estabilidad y convergencia.
• Aplicaciones en biología, química y otras áreas.

Estudio de Convergencia y Estabilidad

• Concepto de convergencia en métodos numéricos.
• Análisis de error y orden de convergencia en MEF.
• Métodos para evaluar la convergencia numérica: Normas y errores.
• Estabilidad en la solución numérica de EDPs.
• Técnicas para asegurar la estabilidad en MEF.
• Implementación y análisis de casos de prueba.
• Discusión de errores comunes y cómo evitarlos.

Aplicaciones Avanzadas y Proyectos en 1D

• Estudios de caso de aplicaciones avanzadas de MEF en 1D.
• Proyecto final: Desarrollo, implementación y presentación de un proyecto de MEF en 1D aplicado a un problema real.
• Discusión de resultados y retroalimentación.

Forma de Evaluación

1. Tareas y Ejercicios (50%)

   • Semanales/quincenales, enfocadas en la implementación y comprensión de los conceptos en 1D.
   • Ejercicios prácticos de programación y simulación en Python.

2. Proyectos Intermedios (30%)

   • Dos proyectos cortos a lo largo del curso.

3. Proyecto Final (20%)

   • Desarrollo de un proyecto completo utilizando FEM en 1D.
   • Presentación y defensa del proyecto frente a la clase.