Actuaría (plan 2006) 2025-1

Optativas, Temas Selectos de Análisis Numérico

Temas Selectos de Análisis Numérico

¿Qué vas a aprender en este curso?

En este curso se abordan temas que históricamente más han influido en el desarrollo computacional, en el Análisis Numérico, la Computación Científica, y sus repercusiones en la ciencia y la tecnología. Podrás comprender los principios teóricos y técnicos para la solución de sistemas lineales algebraicos a gran escala, el cálculo de valores y vectores propios de una matriz y la solución numérica de problemas de ecuaciones diferenciales ordinarias y parciales.

· Se dicutirán métodos numéricos para la resolución de problemas de ecuaciones diferenciales ordinarias con valores iniciales.

· Se analizarán métodos específicos del análisis numérico que sirven para resolver ecuaciones diferenciales ordinarias con valores de frontera.

· Conoceras los fundamentos de los métodos numéricos utilizados para la resolución de problemas que involucren ecuaciones diferenciales parciales.

· Se discutirá la aplicación de métodos iterativos del análisis numérico para resolver grandes sistemas lineales. También los métodos de cálculo numérico de eigenvalores y eigenvectores así como el método de factorización QR.

· Se incluye un tema fuera del programa que contempla el uso de las redes neuronales profundas, físicamente informadas para la solución de ecuaciones diferenciales ordinarias y parciales. Este tema se verá si hay interés y tiempo y quedará fuera de las evaluaciones.

Temario

Tema 1. El mundo de la computación científica visto desde el Análisis Numérico

1.1 Computación científica y modelación matemática

1.2 Computación científica y Análisis Numérico

1.3 Procesos de Cómputo Numérico y cómputo en paralelo

1.4 Ambientes de cómputo (principalmente Python, Julia, Matlab y si hay interés Fortran, C)

Tema 2. Problemas de valores iniciales para ecuaciones diferenciales ordinarias

2.1 Introducción.

2.2 Métodos de Runge y Kutta

2.3 Métodos de múltiples pasos

2.4 Estabilidad, consistencia y convergencia

2.5 Ecuaciones diferenciales ordinarias stiff

2.6 Práctica experimental y problemas de aplicación

Tema 3. Problemas de valores a la frontera para ecuaciones diferenciales ordinarias

3.1 Introducción

3.2 Métodos de diferencias finitas

3.3 Métodos de tiro simple y mútiple

3.4 Métodos de proyección (colocación spline)

3.5 Práctica experimental y problemas de aplicación

Tema 4. Problemas de valores iniciales y de frontera para ecuaciones diferenciales parciales

4.1 Introducción

4.2 Métodos en diferencias explícitos

4.3 Métodos en diferencias implícitos

4.4 Estabilidad, convergencia y consistencia

4.5 Métodos semidiscretos

4.6 Métodos en diferencias implícitos de direcciones alternantes

4.7 Práctica experimental y Problemas de aplicación

Tema 5. Sistemas lineales algebraicos a gran escala

5.1 Métodos directos

5.2 Métodos iterativos

5.2.1 Gauss y Seidel con relajamiento (SOR)

5.2.2 Jacobi

5.2.3 Gradientes conjugados

5.3 Cálculo de Eigenvalores y Eigenvectores

5.3.1 Círculos de Gerschgorin

5.3.2 Método de la potencia

5.3.3 Iteración Inversa (Método de la potencia inversa)

5.3.4 Método de Rayleigh

5.3.5 Algoritmo QR

Tema 6 Solución de ecuaciones diferenciales ordinarias (EDO) y parciales (EDP) usando Redes Neuronales Físicamente informadas (PINNs)

Este tema esta fuera del temario oficial y lo veremos en caso de que haya interés y tiempo

6.1 Vista general de Software libre: PyTorch, TensorFlow

6.2 Diferenciación automática

6.3 Construcción y entrenamiento de PINNs para resolver EDO

6.4 Construcción y entrenamiento de PINNs para resolver EDP

Evaluación:

• Exámenes 30%
• Tareas (Prácticas y trabajos teóricos) 40%
• Proyecto final 30%

Se planean 4 examenes parciales teóricos (aproximadamente uno por mes), al final se puede hacer UNA reposición de algun examen. También se puede presentar el examen final, aunque no es suficientepara acreditar el curso, pues se ha puesto gran peso de la calificación a las tareas y Proyecto final que tienen que presentar y todo esto se promediará de acuerdo al procentaje arriba expuesto. Debido a que es un curso donde la gran parte es práctica, esto se refleja en la evaluación.

Alcance del curso

De acuerdo al temario, el alcance del curso sera el siguiente:

• El estudio de los métodos numéricos para la solución de problemas de valores iniciales

y de frontera para ecuaciones diferenciales ordinarias y parciales.

• Métodos iterativos para la solución de grandes sistemas de ecuaciones lineales.
• Métodos numéricos para encontrar eigenvectores y eigenvalores.
• Hacer que el estudiante aprenda a realizar experimentación numérica desarrollando programas mediante un lenguaje de programación (python).
• Entrenar al estudiante en la resolución numérica de problemas elementales de interés en la ciencia y la tecnología.
• Explorar el uso de herramientas novedosas como las redes neuronales físicamente informadas.

Conocimientos previos

Para poder tomar este curso es necesario haber cursado las siguientes materias:

• Algebra Lineal 1 (deseablemente Algebra Lineal 2)
• Cálculo 1, 2, 3 y 4.
• Programación (o equivalente)
• Análisis numérico
• Ecuaciones diferenciales

Herramientas de cómputo

Muchas de estas herramientas son accesibles desde tu cuenta de correo (@ciencias.unam.mx) por lo que no hace falta instalación algúna. Las clases serán presenciales, pero si hubiera que hacer alguna sesión por zoom, será solo de forma excepcional.

Google Colab: utilizando esta herramienta se mostrará tanto la teoría cómo la práctica (lenguaje python con jupyter notebooks) de los temas del curso.

• Editor de Texto (lenguaje matemático): la entrega de tareas/examenes/proyecto será mediante documentos en formato .pdf por lo que es necesario manejar algún editor de texto con lenguaje matemático.
• Programacion con Python (IPython, Julia, Anconda) y Matlab (Octave), se aceptan otro como C/C++ o Fortran.

Metodología de enseñanza

Dadas las condiciones de este semestre se hará uso de la metodología de enseñanza conocida cómo aula invertida. Está forma de enseñanza a grandes rasgos considera los siguientes pasos:

• Antes de la clase el alumno adquiere conocimientos: todo el material que se revise en cada clase será accesible días antes de la clase, con la idea de que el alumno lo revise previo a la clase.
• Durante la clase se comparte información y se consolida el conocimiento: una vez en clase el profesor repasa el material, muestra ejemplos prácticos y resuelve dudas.

Bibliografía

Los principales libros sobre los cuales esta basado el curso son:

1. Heath, M. Scientific computing an introductory survey. 1997, McGraw-Hill.
2. Stoer, J. and R. Bulirsch (2002). Introduction to Numerical Analysis (3a ed.). Springer Verlag.
3. James M. Ortega. Numerical Analysis: A second course. SIAM, 1987.
4. Ryaben’kii Victor S. and Semyon V. Tsynkov. (2007). A theoretical introduction to numerical analysis. Chapman & Hall/CRC.
5. Quarteroni A., R. Sacco and F. Saleri (2007). Numerical mathematics. Springer Verlag.
6. Tobin A. Driscoll and Richard J. Braun. Fundamentals of Numerical Computation. SIAM, 2017.
7. Wen Shen. An introduction to numerical Computation. World Scientific 2ed, 2020.
8. Germund Dahlquist and Åke Björck. 2008. Numerical Methods in Scientific Computing. Volume 2. SIAM
9. Stewart, G.W., Afternotes goes to Graduate School: Lectures on Advanced Numerical Analysis, SIAM, 1996.
10. Walter Gautschi. Numerical Analysis. Birkhäuser, 2nd ed. 2011.
11. Cheney W. and Kincaid D. Numerical Mathematics and Computing. Thomson Brooks/Cole 2008.
12. Abdelwahab Kharab and Ronald B. Guenther. In Introduction to Numerical Methods: A MATLAB
13. Plato, R. (2003). Concise Numerical Mathematics. American Mathematical Society.
14. Süli E. and D. Mayers (2003). An Introduction to Numerical Analysis. Cambridge University Press.
15. Meyer C. D. (2000). Matrix Analysis and Applied Linear Algebra. SIAM.
16. Golub G. H. and V. Loan (1996). Matrix computations (3a ed.). John Hopkins University Press.
17. Trefethen L. N. (1997). Numerical Linear Algebra. SIAM.
18. Datta B. N. (2010). Numerical Linear Algebra and Applications (2a ed.). SIAM.
19. Moler C. (2004). Numerical Computing with MATLAB. SIAM.
20. Ipsen I. C. F. (2009). Numerical Matrix Analysis Linear Systems and Least Squares. SIAM.
21. Demidovich B. P and I. A. Maron (1987). Computational Mathematics. Mir Publishers Moscow.
22. Golub, G. H., Ortega, J.M. (1992). Scientific Computing and Differential Equations: an Introduction to Numerical Methods. USA: Academic Press.
23. Demmel, J. W. (1997). Applied numerical linear algebra. SIAM.
24. Ascher U.M, and C. Greif. A First course in Numerical Methods. 2011, SIAM.
25. Won Y. Y., Wenwu Cao, Tae-Sang Chung and J. Morris. Applied Numerical Methods using Matlab, 2005, Wiley-Interscience
26. Muller, Jean-Michel, Nicholas Brisebarre, Florent de Dinechin, Claude-Pierre Jannerdod, Vincent Lefevre, Guillaume Melquiond, Nathalie Revol, Damien Stehle, Serge Torres. Handbook of Floating-Point Arithmetic. 2010. Birkhauser, Berlin.
27. O'Leary Dianne P. Scientific computing with case studies. SIAM, 2008.
28. Larry F. Shampine and Rebecca C. Allen Jr., and Steve Pruess, Fundamentals of Numerical Computing. John Wiley & Sons, 1997.
29. Nakamura S. Métodos numéricos aplicados con software (1992). Prentice Hall.
30. Jass Kiusalaas.Numerical methods in engineering with Python. 2005, Cambridge Press.
31. Robert Johansson. Numerical Python. A practical Techniques Approach for Industry. Ed. Apress
32. Hans Petter Langtangen. A Primer on Scientific Programming with Python. Text in Computational Science and Engineering. 2011. Springer Verlag.
33. Hans Petter Langtangen.Python scripting for computational science. Text in Computational Science and Engineering. 2005. Springer Verlag.

Bibliografía complementaria:

1. Buchanan, J. L. (1992). Numerical Methods and Analysis. USA: McGraw-Hill.

2. Greenspan, D., Casulli, V. (1988). Numerical Analysis for Applied Mathematics, Science and Engineering. USA: Addison Wesley.

3. Rutishäuser, H. (1990). Lectures on Numerical Methods. Birkhäuser.

4. Nash J. C. (1990). Compact Numerical Methods for Computers Linear Algebra and Function Minimization. Bristol and N.Y: Adam Hilger.

5. Linz P. (2001). Theoretical Numerical Analysis: An Introduction to Advanced Techniques. Dover Press.

6. Skiba Y. (2005). Métodos y esquemas numéricos un análisis computacional. U.N.A.M.

7. Ralston A and P. Rabinowitz (1965). A first course in numerical analysis. Dover Press.

8. Collins R. E. (1999). Mathematical methdos for physicists and engineers. Dover Press.

9. Won Y. Y., Wen Wu Cao, Tae-Sang Chung and J. Morris (2005). Applied Numerical Methods using Matlab. Wiley-Interscience.

10. Burden R. L.y J. Douglas Faires. Análisis numérico. Cengage Learning.
11. Mathews J. H. y K. D. Fink. Métodos numéricos con Matlab. Pearson Prentice Hall.

Compartiremos en la primera clase los links a los principales libros para que puedan tener los PDFs accesibles.

Presentaciones del curso relacionadas a los videos:

https://sites.google.com/site/ursulaiturraran/teaching/temas-selectos-de-an%C3%A1lisis-num%C3%A9rico

Presentación del Curso: Lunes 5-Agosto-2024