Actuaría (plan 2006) 2025-1

Tercer Semestre, Probabilidad I

MATERIA: Probabilidad I

SEMESTRE: Tercero en la licenciaturas en Actuaría, Ciencias de la Computación y Matemáticas Aplicadas. Optativa del nivel 1 de la licenciatura en Matemáticas.

PERIODO: Agosto – Diciembre 2024 (Sem. 2025-1).

PROFESORES: Jaime Vázquez Alamilla (Cubículo 002 – Departamento de Matemáticas, jaime.vazquez@ciencias.unam.mx) / Genaro Coria, genaromath@ciencias.unam.mx

PRESENTACIÓN: Esta asignatura tiene como objetivo proporcionar al estudiante las diferentes concepciones de la probabilidad, así como los axiomas existentes al respecto. Se contempla también el estudio y aplicación de variables aleatorias –discretas y continuas-, función de densidad y de distribución.

El alumno comprenderá los conceptos de esperanza y varianza, momentos y función generadora de momentos, así como sus aplicaciones. Asimismo, conocerá varios tipos de distribuciones de probabilidad –discretas y continuas- y sus principales usos. Finalmente estudiará algunas definiciones y propiedades de los vectores aleatorios discretos, así como una introducción a los teoremas límite.

PLATAFORMAS: Datacamp, Slack

REQUISITOS: Cálculo Diferencial e Integral II y Álgebra Superior II.

ASIGNATURAS SUBSECUENTES: Probabilidad II y Matemáticas Actuariales del Seguro de Personas I.

T E M A R I O

1. Fundamentos

Explicará la noción de probabilidad y sus diferentes interpretaciones, así como algunos conceptos elementales.

1.1 Interpretaciones de la probabilidad: clásica, frecuentista y subjetiva

1.2 Espacios de probabilidad. Definición axiomática de la probabilidad.

1.2.1 Experimento aleatorio

1.2.2 Espacio muestral y espacio de eventos

1.2.3 Definición de probabilidad

1.2.4 Propiedades de la probabilidad

1.3 Espacios muestrales finitos con resultados igualmente probables

1.4 Probabilidad condicional e independencia

1.4.1 Probabilidad condicional

· Definición

· El teorema de probabilidad total y el teorema de Bayes

· La regla de la multiplicación

1.4.2 Independencia de eventos

2. Variables Aleatorias

Comprenderá el concepto de variable aleatoria –discreta y continua-, así como de función de densidad y de distribución. Estudiará algunas características numéricas de las variables aleatorias.

2.1 Definición y clasificación de variables aleatorias

2.2 Función de distribución

2.3 Función de densidad. Caso continuo y discreto

2.4 Esperanza

2.5 Valor esperado de una función de una variable aleatoria

2.6 Momentos y varianza

2.7 Moda y Mediana

2.8 Funciones generadoras

2.8.1 Función generadora de momentos, función generadora de momentos factoriales (para variables aleatorias con valores en los naturales) y aplicaciones.

2.9 Desigualdades de Markov y Chebyshev

2.10 Desigualdad de Jensen

3. Modelos particulares de variables aleatorias

Conocerá algunas importantes familias paramétricas de distribuciones y explicará sus principales características.

3.1 Distribuciones discretas

3.1.1 Uniforme

3.1.2 Geométrica y binomial negativa

3.1.3 Poisson

3.1.4 Hipergeométrica

3.1.5 Otras

3.2 Distribuciones continuas

3.2.1 Uniforme

3.2.2 Normal

3.2.3 Exponencial y gama

3.2.4 Beta

3.2.5 Otras

3.3 Función de distribución de funciones de variables aleatorias

4. Vectores aleatorios discretos. Independencia

Estudiará las principales características de los vectores aleatorios discretos.

4.1 Vectores aleatorios

4.2 Funciones de densidad y de distribución; conjunta y marginales.

4.3 Variables aleatorias independientes.

4.4 Sumas de variables aleatorias independientes. Propiedades de la esperanza y la varianza.

4.5 Teorema del Límite Central para la distribución binomial.

4.6 Enunciado y explicación de la Leyes de los Grandes Números y el Teorema del Límite Central. Demostración de la Ley Débil de los Grandes Números. Simulación.

BIBLIOGRÁFICA BÁSICA

Ross, S. A First Course in Probability. 10th edition. Global Edition. Pearson Education Limited 2020.

BIBLIOGRAFÍA COMPLEMENTARIA

1. Casella, G. and Berger, R. L. Statistical Inference. Duxbury Advanced Series. 2002.

2. Hoel, P.G., Port, S.C. & Stone, C.J. Introduction to probability theory. Houghton Mifflin Company. 1971.

3. Mood, A. M., Graybill, F. A. and Boes, D.C. Introduction to the Theory of Statistics. 3^rd edition. New York. McGraw-Hill, 1974.

BIBLIOGRAFÍA COMPLEMENTARIA 2

1. Chan, Stanley H. Introduction to Probability for Data Science. Michigan Publishing, 2021.

EVALUACIÓN

El curso será evaluado de la siguiente manera:

• Mediante tareas que se realizarán en equipos de 4 estudiantes como máximo y cuyo valor será el 20% de la calificación final.
• Exámenes parciales que equivalen al 80% de la calificación final.

La escala de calificaciones en la siguiente:

[0,6)-5, [6, 6.6)-6, [6.6, 7.6)-7, [7.6, 8,6)-8, [8.6, 9.6)-9 y [9.6, 10)-10

ACLARACIONES

· Bajo ningún motivo se aceptarán tareas después de la fecha fijada de entrega.

· No se realizarán exámenes extemporáneos por ningún motivo.

· Para tener derecho a la calificación final aprobatoria, es requisito entregar todas las tareas y haber aprobado los exámenes (se pueden reponer hasta dos parciales).