Física (plan 2002) 2025-1

Séptimo Semestre, Física Computacional

Fı́sica Computacional
Humberto Hı́jar
Departamento de Fı́sica
Semestre 2025-1

1 Presentación

La Fı́sica Computacional es una disciplina esencial de análisis de la naturaleza que ha ganado enorme relevancia en la décadas recientes. Debido al incremento notable en la capacidad de los equipos de cómputo, diversos métodos de la Fı́sica Computacional constituyen herramientas confiables que permiten corroborar predicciones de modelos teóricos y guiar la ejecución de experimentos o, incluso, ser sus sustitutos cuando estos son muy difı́ciles de poner en práctica.

En este curso se discuten los fundamentos de algunos de los métodos de la Fı́sica Computacional más utilizados. El temario comprende algunos métodos con un carácter más matemático, por ası́ decirlo, como los métodos de soluciones de ecuaciones diferenciales o de análisis matricial. También se comprenden otros métodosde inspiración completamente fı́sica, como los métodos de Dinámica Molecular y Monte Carlo que son ampliamente utilizados en la investigación actual de los sistemas complejos de la Mecánica Estadı́stica.

La importancia de los métodos que se expondrán en el curso es múltiple. Primero, como los estudiantes en este nivel de la carrera comprenden, pocas ecuaciones y modelos admiten una solución analı́tica explı́cita y, por tanto, es plausible utilizar herramientas que permitan una solución numérica. En este curso se abordan varias de dichas herramientas. En segundo lugar, cualquier investigador en Fı́sica, independientemente de si tiene un perfil teórico o experimental, tendrá que utilizar los métodos numéricos en algún momento o tendrá que interpretar resultados provenientes de ellos o, en última instancia, tendrá que colaborar con colegas que los utilizan.

2 Temario

El temario está dividido en dos bloques principales, los métodos de análisis numérico general y los algoritmos de las simulaciones numéricas, de acuerdo con el
siguiente esquema.

I Análisis numérico

(a) Operaciones matemáticas básicas
i. Diferenciación numérica
ii. Cuadratura numérica
iii. Solución de raı́ces

(b) Ecuaciones diferenciales ordinarias
i. Métodos de Taylorii. Métodos de Runge-Kutta
iii. Soluciones estables e inestables
iv. Comportamiento caótico

(c) Operaciones matriciales
i. Inversión de matrices
ii. Eigenvalores de una matriz tridimensional

(d) Problemas de valores a la frontera
i. Algoritmo de Numerov
ii. Métodos de integración directa

II Simulación Computacional

(a) Métodos de Monte Carlo
i. Idea básica
ii. Muestreo
iii. Procesos de Markov
iv. Condición de balance detallado

(b) Dinámica Molecular
i. Idea básica
ii. Integración de las ecuaciones de movimiento
iii. Algoritmos de Verlet
iv. Condiciónes de frontera

(c) Algoritmos Mesoscópicos
i. Dinámica Rotacional Estocástica
ii. Pasos de propagación y colisión
iii. Condiciones de Frontera de Lees-Edwards
iv. Simulación de flujo de cortante

3 Método de Enseñanza

Cada tema se abordará en dos etapas. La primera será la fundamentación teórica de los métodos y la segunda el planteamiento de los algoritmos que son sus contrapartes computacionales. Los algoritmos se programarán en dos lenguajes principales, Fortran y Python, debido a la relevancia que tiene el primero en el cómputo cientı́fico de alto rendimiento y a la capacidad que tiene el segundo de ejecutarse en diversas plataformas.

Al final de cada tema principal se trabajará un proyecto seleccionado por su relevancia histórica o conceptual en la Fı́sica.

4 Método de evaluación

El curso se evaluará por proyectos.

Cada estudiante deberá completar la programación de los proyectos del curso y ejecutar simulaciones que le permitan concluir sobre los aspectos fı́sicos relevantes de cada uno. Al finlaizar deberá entregar un reporte basado en sus resultados, cuyo contenido deberá estar dividido en las siguientes secciones:

1. Tı́tulo
2. Resumen
3. Introducción
4. Planteamiento del problema
5. Método de solución6. Resultados
7. Conclusiones
8. Referencias

Los reportes se valuarán bajos los siguientes criterios:

1. Resultados numéricos correctos obtenidos por el código programado (50% de la calificación)
2. Profundidad en el análisis de los resultados obtenidos (20% de la calificación)
3. Congruencia lógica del reporte escrito (15% de la calificación)
4. Calidad cientı́fica del reporte escrito (15% de la calificación)

La calificación final será el promedio de las calificaciones de los reportes.

5 Bibliografı́a

• S. E. Koonin y D. C. Meredith, Computational Physics (Fortran Version), Addison Wesley (1990) USA.
• D. Frenkel y B. Smit, Understanding Molecular Simulation. From Algorithm to Applications, Academic Press (2002) USA.