Matemáticas (plan 1983) 2025-1

En sus trabajos de dinámica Poincaré centro su atención en los movimientos periódicos. Conjeturo que cualquier movimiento de un sistema dinámico puede ser aproximado por aquellos de tipo periódico, es decir, que los movimientos periódicos se encuentran densamente distribuidos de entre todos los movimientos posibles. Y llego a ser de primera importancia para él, determinar cuál la distribución de los movimientos periódicos En este sentido, de valía el poder saber cuándo un sistema dinámico contiene trayectorias cerradas y cuál su distribución. De consideración, garantizar la existencia de puntos fijos y la generalización de movimiento periódico: movimiento recurrente, para detectar trayectorias cerradas y órbitas cerradas, respectivamente.

Uno de los objetivos principales de la dinámica es el estudio del comportamiento asintótico de casi todas las órbitas. Así, la pregunta fundamental es qué puede uno decir acerca del estado final asintótico del conocimiento de la condición inicial y la regla dinámica. Más aún, ¿se puede medir la región del espacio donde más se concentra la trayectoria de un punto? Y, de esta forma, tener la certeza de que existe una probabilidad determinada de que el comportamiento asintótico de ciertas propiedades del sistema tienda a un límite (Teorema Ergódico); Es la construcción de invariantes lo que nos permite clasificar cualitativamente tipos de evolución dinámica; De valor la existencia de una órbita densa en el espacio. Para después medir esencialmente las diferentes órbitas que hay en él, es decir, medir su crecimiento, su distribución como una medida de la masividad de las órbitas (su densidad).

En suma, la iteración entre la información contenida en el espacio de condiciones iniciales y las relaciones entre conjuntos invariantes dinámicamente es uno de los temas principales de la teoría de sistemas dinámicos.