Matemáticas (plan 1983) 2025-1

Optativas de los Niveles VII y VIII, Seminario de Geometría B

A partir de los cinco axiomas básicos de la geometría proyectiva (que son de incidencia y muy simples excepto por el Quinto que equivale a la validez del Teorema de Pappus) pretendo llegar a probar el Teorema de Aritmetización. Éste dice que cualquier geometría proyectiva es la proyectivización de un espacio vectorial sobre un campo; y además, que el quinto axioma sea valido es equivalente a la conmutatividad del producto; así que surgirán ejemplos de geometrías proyectivas donde no se cumple el Teorema de Pappus. Por supuesto, todos los términos que he usado se van a explicar con detalle; éste sería el objetivo final y para llegar a él, veremos (a manera de temario):

1) La geometría proyectiva real. Su historía y su diversificación.

2) Los 4 Axiomas Básicos. El ejemplo clásico de la proyectivización de espacios vectoriales.Los ejemplos de los espacios proyectivos complejos y los finitos.

3) Dimensión y la igualdad modular.

4) Curvas armónicas, el Axioma del Equipal (primera versión del Quinto Axioma) y su equivalencia con el Teorema de Pappus. Polaridades.

5) Los grupoides de proyectividades.

6) Curvas armóncias a la Steiner.

7) El Teorema Fundamental de la Geometría Proyectiva y su equivalencia con elQuinto Axioma.

8) El Teorema de Aritmetización. La geometría proyectiva sobre los cuaterniones.

Los prerequisitos son tener gusto por la geometría, Algebras Lineales y Modernas, algo de topología. Para el tema 5 se usa teoría de categorías, pero no es necesario haber llevado un curso completo; igualmente, cualquiera de los temas o conceptos que se usen, se verán con el cuidado que requiera el grupo.

Bibliografía:

J. L. Abreu, J. Bracho, Geometría Visual; las matemáticas que surgen de cómo vemos al mundo. https://arquimedes.matem.unam.mx/roli/GeometriaVisual/ (2023).(Para los temas 1 y 4)

H. S. M. Coxeter,Projective Geometry, (2nd ed.), Springer, New York(1987).

V. Gómez, Geometría Proyectiva. Una Introducción. Prensas de Ciencias, UNAM (2020)

D. Hilbert, Foundations of Geometry, (1902).

J. Stillwell, The horizon. Capítulo 8 del libro: Yearning for the impossible: the surprising truths of mathematics, AK Peters (2006); CRC Press (2018).

O. Veblen, J. W. Young,Projective Geometry, Ginn and Company, Boston(1910-1918).