Matemáticas (plan 1983) 2025-1

Optativas de los Niveles VII y VIII, Seminario de Geometría A

Teoría de singularidades de funciones diferenciables entre espacios Euclidianos

En el curso estudiaremos las singularidades genéricas de funciones diferenciables que están definidas entre espacios Euclidianos de bajas dimensiones. El estudio de estas singularidades comenzó con los trabajos de Morse (1925) y Whitney (1936). Mediante el teorema de Sard, probaremos la densidad de funciones que presentan únicamente singularidades genéricas. Gran parte de estos resultados están inspirados en los trabajos de René Thom (Teorema de transversalidad, 1956). Posteriormente, J. Mather hace varias aportaciones, entre 1968 y 1970, a la teoría de estabilidad de funciones diferenciables. El temario del curso comprende, tanto el estudio global de funciones diferenciables, es decir, la equivalencia de éstas salvo difeomorfismos; como el estudio local de las singularidades que éstas presentan.

Dinámica del curso. Las clases serán de lunes a viernes. De cada semana usaremos tres días para estudiar la teoría del curso, y en los otros dos se realizarán ejercicios que ayuden a reafirmar la teoría.

Evaluación. Cada dos o tres semanas se dejará una tarea-examen. La calificación final será el promedio de las tareas-examen. No habrá reposiciones. Podrán presentar (una única vez) el examen final quienes hayan entregado más del 80% de las tareas-examen. La calificación obtenida en el examen final será la calificación definitiva del curso.

Programa.

I. Singularidades de funciones real valuadas definidas en R.

• Equivalencia de funciones
• Funciones de orden finito y planas
• Funciones de Morse

II. Singularidades de funciones de R^2 en R.

• Equivalencia y clasificación de funciones de clase C^∞
• Funciones de Morse

III. Singularidades de funciones de R en R^2.

• Equivalencia y clasificación de funciones de clase C^∞

IV. Singularidades de funciones de R^2 en R^4.

• Equivalencia y clasificación de funciones de clase C^∞

V. Singularidades de funciones de R^2 en R^3.

• Equivalencia y clasificación de funciones de clase C^∞

VI. Singularidades de funciones de R^2 en R^2.

• Equivalencia y clasificación de funciones de clase C^∞
• El doblez y la cúspide

Bibliografía:

- R. Bulajich & S. López de Medrano, Aportaciones Matemáticas, serie: Comunicaciones. No. 15, páginas: 355-564.

Bibliografía complementaria:

• M. Golubitsky & V. Guillemin, Stable mappings and their singularities.
• V.I.Arnold, Singularities of differentiable maps.
• C.T.C. Wall, Differential topology.
• R. Narasimhan, Analysis on real and complex manifolds.