Matemáticas (plan 1983) 2025-1

Optativas de los Niveles VII y VIII, Seminario de Geometría A

Importante

• Presentación del curso: Presencial Lunes 5 y Martes 6 de Agosto a las 8:00 hrs en el salón [por definir].
• Inicio de clases del curso: Miércoles 7 de Agosto.
• Inicio de ayudantías del curso: Jueves 23 de Agosto.
• Modalidad del curso: Presencial en el salón de clase. Pero puede haber transmisión en vivo por Zoom, usando un pizarrón virtual y proyector, si es requerido.

Descripción breve

En el seminario se pretende seguir principalmente la exposición del libro Fractals Everywhere, de Michael F. Barnsley (véase [Fractals Everywhere]). El propósito de este libro –y por lo tanto del seminario– es una introducción al estudio de la “Geometría Fractal”, mediante una combinación entre la revisión de su base teórica y la realización de “exploraciones” computacionales para visualizar los diversos conceptos, construcciones y ejemplos. Se complementará el material estudiado con contenidos de diversos libros, como Measure, Topology, and Fractal Geometry de G.A. Edgar ([Edgar]), The Fractal Geometry of Nature de B. Mandelbrot [Mandel]) y Chaos and Fractals de H.O. Peitgen y colegas ([Peit2]). Finalmente, para la realización de los experimentos computacionales se utilizará el lenguaje de programación Julia (véase [Julia]), por lo que realizará un taller de programación de este lenguaje dentro del seminario.

Descripción

En la “geometría fractal”, el concepto central es la autosimilitud. Conjuntos autosimilares pueden obtenerse como atractores de un sistema de funciones iterado. Estos atractores autosimilares pueden ser los conjuntos llamados fractales. Así como en la geometría euclidiana las propiedades de los objetos están determinadas por invariantes bajo congruencias, en la geometría fractal las propiedades de los objetos (fractales) están determinados por transformaciones contractivas (sistema de funciones que determinan la similitudes) en un espacio métrico.

En el seminario se pretende seguir principalmente la exposición del libro Fractals Everywhere, de Michael F. Barnsley (véase [Fractals Everywhere]). El propósito de este libro –y por lo tanto del seminario– es una introducción al estudio de la “Geometría Fractal”, mediante una combinación entre la revisión de su base teórica y la realización de “exploraciones” computacionales para visualizar los diversos conceptos, construcciones y ejemplos.

El libro [Fractals Everywhere] contiene una muy buena revisión de la base teórica (topología, espacios métricos, dimensión fractal, etc) y una exposición muy completa con demostraciones formales y ejemplos sobre el tema. Aun así, se complementará el material estudiado, cuando sea necesario, con contenidos de diversos libros, como Measure, Topology, and Fractal Geometry de G.A. Edgar ([Edgar]), The Fractal Geometry of Nature de B. Mandelbrot [Mandel]) y Chaos and Fractals de H.O. Peitgen y colegas ([Peit2]).

Para los ejemplos de implementación de algoritmos en el libro [Fractals Everywhere], se utiliza el lenguaje de programación BASIC, que es relativamente sencillo de entender y útil por su uso de gráficos por computadora, pero actualmente existen mejores opciones en varios sentidos. Para el seminario se utilizará el lenguaje Julia (véase [Julia]), que está diseñado especialmente para cómputo científico y combina simplicidad con eficiencia. Dentro del seminario se realizará un taller para la introducción completa al lenguaje de programación Julia, por lo que no se solicitarán conocimientos de programación al alumno. El objetivo no será que el alumno se convierta en experto programación, sino sólo que aprenda lo suficiente para realizar la implementación de algoritmos relativos al cálculo y visualización de fractales.

Temario

Durante el semestre, se verán en paralelo la teoría de Geometría Fractal, junto con la práctica de Programación.

1. Espacios Métricos / Programación Básica

• Programación
  1. Introducción a la programación. Introducción a Julia y Pluto.
  2. Números, variables, constantes, operadores y expresiones. Tipos básicos.
  3. Colores con Colors. Gráficos de píxeles con Images.
  4. Errores sintácticos, de ejecución y semánticos.
  5. Funciones y sus argumentos.
  6. Instrucciones de control condicional. Operador condicional. Iteración condicional.
  7. Tipos colección: rangos y arreglos. Instrucciones de control de repetición. Comprehensiones.
  8. Funciones con argumentos opcionales y con argumentos palabra clave. Reúso de funciones.
• Teoría
  1. Espacios métricos. Sucesiones de Cauchy y convergencia. Espacios métricos completos.
  2. Topología: Conjuntos abiertos, cerrados, frontera, compactos, perfectos.
  3. El espacio de compactos. Métrica de Hausdorff.

2. Sistemas de Funciones Iterados (SFIs) y Atractores / Programación Intermedia

• Programación
  1. Funciones estilo matemáticas. Tipo función. Funciones anónimas.
  2. Anotaciones de tipos. Métodos y despacho múltiple.
  3. Tipos compuestos. Mutables e inmutables. Constructores.
  4. Dibujo simple con ImageDraw.
  5. El algoritmo determinista para dibujo de atractores (fractales).
  6. El algoritmo del juego del caos para dibujo de atractores (fractales).
• Teoría
  1. Transformaciones en espacios métricos. Afinidades, semejanzas y contracciones. Teo. del punto fijo.
  2. Sistemas de funciones iterados (SFIs). SFIs hiperbólicos.
  3. El Teo. de Hutchinson. Atractores.
  4. El Teo. del collage.

3. Dinámica Caótica en Fractales y Dimensión Fractal

• Programación
  1. Algoritmo para cálculo de direcciones.
  2. Algoritmo para el cálculo de dimensión fractal con conteo de cajas.
• Teoría
  1. Direcciones y espacios de códigos. Conjuntos conexos y totalmente disconexos.
  2. Sistemas dinámicos discretos. Puntos periódicos. Órbitas. Caos. Conjugación.
  3. Corrimiento en fractales. Caos en fractales. Órbitas aleatorias.
  4. Teo. de la sombra y Teo. del "seguir como sombra".
  5. Dimensión topológica y dimensiones fractales.
  6. Teo. de la dimensión fractal por conteo de cajas.
  7. Dimensión fractal de Hausdorff-Besicovitch.

4. Conjuntos de Puntos Atrapados, de Julia, de Mandelbrot y SFIs

• Programación
  1. Mapas de color con ColorSchemes.
  2. El algoritmo de coloreado por tiempo de escape.
  3. Algoritmos para dibujo de Mandelbrots de SFIs.
• Teoría
  1. Conjuntos de puntos atrapados. Conjuntos de puntos atrapados de SFIs.
  2. Conjuntos de Julia de funciones holomorfas. Conjuntos de Julia como atractores de SFIs.
  3. El conjunto de Mandelbrot. Conjuntos de Mandelbrot generales.
  4. Conjuntos de Mandelbrot de SFIs.

Evaluación

• Tareas de Teoría 50%. Se asignarán 4-5 tareas con problemas teóricos.
• Tareas de Programación 20%. Se asignarán 5-6 tareas ejercicios de programación (relacionados con la teoría).
• Trabajo final 30%. Desarrollo de un tema teórico y un programa relacionado. Temas propuestos: Interpolación fractal, Curvas dragón, Árboles fractales, SFIs con condensación, SFIs recursivos, SFIs con gráficas dirigidas, Teselaciones fractales, Flamas fractales, Entropía topológica en fractales, Movimientos y crecimientos brownianos, Cálculo de dimensiones fractales, Polinomios de Littlewood, Conjuntos límite de grupos kleinianos, etc.
• En caso de ser necesario, se puede realizar un examen final (presencial) sobre los temas teóricos del curso (sin los de programación). Para derecho a este examen se requiere haber entregado al menos 2 tareas de teoría. La califcación del examen final sólo sustituye las calificaciones de las tareas.

Requisitos

Los cursos antecedentes al seminario:

• Necesarios: Geometría Analítica I y II, Cálculo I y III, Álgebra Lineal I.
• Deseables (no obligatorios): Introducción a la Geometría Avanzada, Análisis I, Sistemas Dinámicos Discretos I, Sistemas Dinámicos Discretos II, Variable Compleja I, Topología I, Computación I, Programación I.

Bibliografía

Bibliografía principal

[Fractals Everywhere] Barnsley, Michael F., Fractals Everywhere, Morgan Kauffman, 2nd (1993) o 3rd (2012) Edición.

[Julia] The Julia Language, julialang.org

Bibliografía complementaria