Matemáticas (plan 1983) 2025-1

Grupo 4285, 65 lugares.

 

El slogan de la teoría de representaciones es que es el estudio matemático de la simetría. En su concepción moderna, la teoría de representaciones estudia las acciones lineales de objetos algebraicos (grupos, álgebras, álgebras de Lie...) en espacios vectoriales, es decir, la manera en que podemos "representar" a objetos algebraicos utilizando funciones lineales. De esta manera, la teoría de representaciones toca muchas áreas de las matemáticas y a veces sirve de puente entre estas: combinatoria (teoría de caracteres y fórmulas para dimensiones), topología (construcción de acciones en la homología de espacios topológicos), análisis (acciones de grupos en espacios de Hilbert), geometría diferencial (grupos de Lie), geometría algebraica (grupos algebraicos), teoría de categorías (pues las representaciones de un objeto particular forman una categoría), etc.

El objetivo de este seminario (que por cuestiones de tiempo no tratará todas las conexiones descritas en el párrafo anterior) es el de dar una introducción a la teoría de representaciones, empezando con el objeto algebraico más básico: los grupos. Empezaremos estudiando las representaciones de grupos finitos sobre campos de característica 0, que es una de las áreas mejor entendidas y más desarrolladas de la teoría de representaciones (en contraste, la teoría de representaciones de grupos finitos sobre campos de característica positiva está llena de incógnitas y es un área activa de investigación). Después introduciremos los análogos continuos de grupos finitos: los grupos de Lie. Como estos son objetos muy complicados, su teoría de representaciones se estudia a través de las llamadas álgebras de Lie. Finalmente, estudiaremos las representaciones de algunas álgebras de Lie pequeñas.

Seguiremos mayormente las partes I y II del libro de Fulton y Harris "Representation theory: a first course".

Temario:

1. Representaciones de grupos finitos

1.1. ¿Qué es una representación? Ejemplos de representaciones.

1.2. Representaciones irreducibles.

1.3. El lema de Schur

1.4. Representaciones de grupos abelianos.

2. Teoría de caracteres

2.1. Caracteres.

2.2. El carácter de una representación.

2.3. Ortogonalidad de caracteres.

2.4. Fórmulas de proyección.

3. El álgebra de grupo

3.1. Definición del álgebra de grupo.

3.2. Módulos sobre el álgebra de grupo.

3.3. Idempotentes y proyecciones.

3.4. Restricción e inducción de representaciones.

4. Representaciones del grupo simétrico.

4.1. Diagramas de Young.

4.2. Representaciones irreducibles del grupo simétrico.

4.3. Fórmula de caracteres de Frobenius.

4.4. Representaciones del grupo alternante.

4.5. Funtores de Schur

5. Grupos de Lie

5.1. Definiciones y ejemplos.

5.2. El álgebra de Lie y el mapeo exponencial.

5.3. Ejemplos de álgebras de Lie.

5.4. Representaciones de sl_2(C) y SL_2(C).