Encabezado Facultad de Ciencias
Presentación

Matemáticas (plan 1983) 2025-1

Optativas de los Niveles V y VI, Historia de las Matemáticas II

Grupo 4270, 65 lugares.
Profesor Israel Ramos García lu mi vi 17 a 18
Ayudante Adriana Alfaro Rosado ma ju 17 a 18

 

Objetivo General

Analizar los métodos geométricos que a través de la historia dieron origen a diferentes áreas de la matemática, acentuando que, la irresolubilidad de un problema, muchas veces, es la antesala de una nueva teoría matemática.

Evaluación

  1. Dos exposiciones, individual o en equipo.

  2. Los temas a exponer complementarán o completarán lo expuesto en clase.

  3. Por cada exposición se entregará un ensayo por escrito y se expondrá frente a grupo con un tiempo de 45 minutos para la exposición y 15 minutos para preguntas. El trabajo escrito corresponde al 50 % de la calificación y el otro 50 % a la exposición.

Cartel de invitación al curso

https://www.facebook.com/reel/982549753423939

Motivación del curso

La matemática ante todo es el arte de resolver problemas. En este sentido, podríamos circunscribir la historia de las matemáticas a la historia de sus problemas. Así, de nuestro interés saber qué imposibilitó la interpretación geométrica de un número complejo cuya historia se circunscribe al viejo problema de la trisección de un ángulo y, en general, al problema de la división de un ángulo en n-partes iguales. Ciñendo la historia de los números complejos a 2000 años de análisis geométrico; Por otro lado, cualquier sección cónica puede ser considerada como el lugar geométrico de los puntos cuyas distancias a tres (o cuatro) líneas rectas fijas dadas (las distancias pueden forma cualquier ángulo dado) son tal que la proporción del cuadrado de una de ellas con el rectángulo de las otras dos es constante (o la proporción del rectángulo de dos de ellas con el rectángulo de las otras dos es constante). La pregunta inversa, es decir, ¿el lugar geométrico de los puntos que cumple la configuración de las tres (o cuatro) líneas rectas antes mencionada –conocida como el problema de Pappus– es una cónica? Permaneció abierta durante 1200 años, Descartes y Newton la contestan, parcialmente, de manera positiva, mostrando que una cónica se puede caracterizar a través de una configuración Pappusiana de tres (o cuatro) líneas rectas.

Ahora bien, con la invención de la geometría analítica por Descartes en 1637 muchas curvas en el plano se caracterizaron a través de una ecuación algebraica. De entre ellas, las cónicas como configuración Pappusiana. Debeaune en 1638 le plantea a Descartes encontrar una curva cuya subtangente sea constante. A pesar de los esfuerzos de Descartes y Fermat, el problema permaneció sin resolver durante casi 50 años. Leibniz, en 1684, propone una solución: la exponencial. Y se pone de relieve el determinar una curva a través de una ecuación diferencial.

La historia de los siguientes dos problemas, a saber, el quinto postulado y congruencia de poliedros convexos tienen la peculiaridad de hacer referencia, uno al quinto postulado de los Elementos de Euclides. Otro, a la definición X del libro XI de los Elementos de Euclides. Ambos, en principio, no tendrían por qué demostrarse toda vez que hacen referencia a verdades a priori. He ahí la importancia histórica de su análisis, ya que el primero dio origen, en su intento de demostración, al descubrimiento de nuevas geometrías (no euclidianas). El segundo, en su intento de demostración, exhibe la necesidad de la emergencia de nuevas propiedades geométricas que no dependen de la magnitud de las cantidades geométricas sino de su posición: el invariante de Euler. Emergiendo, así, la geometría de posición.

En suma, el análisis histórico permite dar cuenta de la necesidad de extender el análisis geométrico o, en su defecto, del imperativo de la invención de nuevos métodos para abordar propiedades geométricas que se resistían a su análisis.

Contenido del curso

  1. El problema de la división de un ángulo en n-partes iguales u origen de los números complejos.

  2. El problema de Pappus u origen de la geometría analítica.

  3. El problema de la curva de subtangente constante u origen del cálculo diferencial.

  4. Sacceri y la demostración del quinto postulado u origen de las geometrías no-Euclidianas.

  5. Sobre la definición X del libro XI de los Elementos de Euclides u origen de la geometría de posición.

  6. El invariante de Euler u origen de la topología.

  7. El problema de la curva invariante u origen de la teoría KAM-débil

Libros de Consulta

[1] Euclides. Elementos I-IV. Gredos.

[2] R. Rashed, B. Vahabzadeh Al-Khayyãm Mathématicien. Albert Blanchard.

[3] Francois Viète The Analytic Art. Publications, Inc.

[4] Apollonius of Perga. Conics Books I-III. Green Lion Press.

[5] Isaac Newton. Principios matemáticos de la filosofía natural. Alianza Editorial.

[6] Rene Descartes. The Geometry. Dover.
[7] G. W. Leibniz naissance du calcul différentiel. Librairie Philosophique J. VRIN.

[8] Girolamo Saccheri’s. Euclides Vindicatus. Chelsea Publishing Company.

[9] Euclides. Elementos XI. Gredos.

[10] A. L. Cauchy Recherches sur les polyèdres Premier Mémoire & Les polygones et les polyèdres. Second Mémoire.

[11] A. M. Legendre Éléments De Géométrie. Chez Firmin Didot Frères, Libraires, Rue Jacob.
[12] Imre Lakatos Pruebas y refutaciones: La lógica del descubrimiento matemático. Alianza Universidad.

[13] H. Poincaré Sur Le Problème Des Trois Corps Et Les Équations De La Dynamique. Mémoire Couronné Du Prix De S. M. Le Roi Oscar II.

[14] V. Bangert Mather Sets For Twist Maps And Geodesics On Tori. Dynamics Reported, Volume I.

Bibliografía Complementaria

https://israelramos.mx/2022/01/07/conferencias/

  1. Sobre el origen de los números complejos, Dos mil años de historia: https://www.youtube.com/watch?v=YlgL_J1j3aw&t=1s

  2. Gauss y el Teorema Fundamental del Álgebra: https://www.youtube.com/watch?v=Dzf1jBc9vBs&list=PLWJkL2BMxnX4CCkzN1TW9QgK2DB2HQdtx

Breve historia de los números complejos en tres actos:

https://israelramos.mx/2021/11/19/historia-de-los-numeros-complejos/

Método de aplicación de áreas o el arte de soldar cuadrados (o cómo resolvió ecuaciones cuadráticas Al-Khayyãm):

https://israelramos.mx/2023/10/06/metodo-de-aplicacion-de-areas/

El viejo problema de la trisección de un ángulo:

https://israelramos.mx/2022/10/03/triseccion-de-un-angulo/

El papel del método axiomático en la intuición lógica del espacio:

https://israelramos.mx/2023/08/18/seminario-filosofia-de-las-matematicas/

 


Hecho en México, todos los derechos reservados 2011-2016. Esta página puede ser reproducida con fines no lucrativos, siempre y cuando no se mutile, se cite la fuente completa y su dirección electrónica. De otra forma requiere permiso previo por escrito de la Institución.
Sitio web administrado por la Coordinación de los Servicios de Cómputo de la Facultad de Ciencias. ¿Dudas?, ¿comentarios?. Escribenos. Aviso de privacidad.