Matemáticas (plan 1983) 2025-1

Optativas de los Niveles VII y VIII, Geometría Riemanniana I

Presentación del curso de Geometría Riemanniana

En la actualidad, los métodos de geometría diferencial se utilizan en casi todas las areas de la Física. Teorías clásicas como la mecánica, electrodinámica, la teoría de la Relatividad General de Einstein or las teorías de norma de Yang Mills son algunos ejemplos. Los objetos de la geometría diferencial son las variedades n-dimensionales, los cuales son generalizaciones del concepto de superficie en R^{3}. Las variedades son objetos que aparecen en física de manera natural; cuando uno habla del espacio de estados, de configuración de un sistema mecánico, o el espacio-tiempo mismo.

Los ingredientes requeridos para dar un escenario geométrico a las teorías de la física son; métrica, conexión y curvatura de la conexión en una variedad diferenciable. En este curso presentaremos el esquema matemático que nos permite montar estos ingrediente en los objetos de la geometría diferencial.

Veremos los temas de Geometría Riemanniana del programa oficial que aparece en la pagina https://www.fciencias.unam.mx/sites/default/files/temario/252.pdf

Temario

1. Variedades n-dimensionales
2. Funciones diferenciables, campos vectoriales y corche te campos vectoriales.
3. Metricas Riemannianas
4. Conexion
5. Curvatura
6. Introducción a los grupos de Lie
7. *Subvariedades Riemannianas.
8. *Variedades Completas.

Forma de Trabajo

Tendremos clases presenciales.

Se asignaran 4 Tareas-Examen, los cuales tendrán una semana para entregarlas, a partir del día que se les entregue.

Evaluación

La calificación sera el promedio de las tareas-examen.

No habra reposiciones.

Ya que la calificación es el promedio de

las tareas-examen, se pondra mucho énfasis en no copiar.

Bibliografia

Do Carmo, M.P. Riemannian Geometry, Birkhauser, 1992.

O’Neill, B. Semi-Riemannian Geometry, Boston: Academic Press, 1983

Gallier J. y Quaintance J. Differential Geometry and Lie groups, A Computational Perspective, Springer 2020.