Matemáticas (plan 1983) 2025-1

Optativas de los Niveles V y VI, Geometría Diferencial II

Variedades Diferenciables

¿Qué se estudia en geometría diferencial?

La geometría diferencial estudia propiedades de curvas, superficies y espacios de dimensiones superiores utilizando herramientas del cálculo y del álgebra lineal. El uso del cálculo y del álgebra lineal en geometría abre campos de investigación que se extienden mucho más allá de la geometría clásica. Aunque la geometría diferencial no tiene las mismas restricciones que la geometría euclidiana sobre qué tipos de objetos estudia, no todos los conjuntos concebibles de puntos caen dentro del ámbito de la geometría diferencial. Uno de los temas subyacentes de la geometríal diferencial es el desarrollo y la descripción de los tipos de conjuntos geométricos en los cuales es posible «hacer cálculo». Esto nos llevará a la definición de las variedades diferenciables. Un segundo tema, algo obvio, es cómo realmente hacer cálculo (medir razones de cambio de funciones o de variables interdependientes,...) en variedades. Un tercer tema general es cómo «hacer geometría» (medir distancias, áreas, ángulos,...) en dichos objetos geométricos, lo cual nos lleva a la noción de variedad riemanniana.

Las aplicaciones de la geometría diferencial fuera de las matemáticas surgen primero en la mecánica, en el estudio de la dinámica de una partícula en movimiento o de un sistema de partículas. El estudio de los marcos inerciales es común tanto en física como en geometría diferencial. La geometría diferencial es crucial para estudiar sistemas físicos que involucran funciones en espacios curvos. Por ejemplo, solo para dar sentido a las derivadas direccionales de la temperatura superficial en un punto de una superficie, se requiere análisis en variedades. El estudio de la mecánica y el electromagnetismo en una superficie curva también requiere análisis en una variedad. Probablemente la aplicación más revolucionaria de la geometría diferencial a la física provino de la teoría de la relatividad general de Einstein, en la cual el espacio-tiempo se curva en presencia de masa-energía.

Este curso es el segundo de un par (¿una terna?) de cursos que juntos tienen la intención de guiar al estudiante desde la geometría diferencial clásica de curvas y superficies hacia la formulación moderna de la geometría diferencial de variedades. En el primer curso de la pareja introdujimos la teoría clásica de curvas y superficies. En este curso continuaremos el desarrollo de la geometría diferencial clásica de curvas y superficies estudiando variedades diferenciables, que son la generalización natural de las curvas y las superficies regulares a dimensiones superiores.

Son bienvenidos todos los estudiantes que quieran introducirse y profundizar en temas de geometría diferencial.

Temario

1. Variedades diferenciables
2. La estructura tangente
3. Inmersiones y submerciones
4. Haces fibrados
5. Tensores
6. Formas diferenciales
7. Integración y Teorema de Stokes

​Libros de consulta/referencia

• J. M. Lee, Manifolds and Differential Geometry, Graduate Studies in Mathematics, Volume 107, American Mathematical Society, 2009.
• J. M. Lee, Introduction to Smooth Manifolds, Graduate Texts in Mathematics, Volume 218, Second Edition, 2013
• J. Lafontaine, An Introduction to Diferential Manifolds, Springer, 2015

Complementaremos con otras fuentes que iremos mencionando a lo largo del curso.

Forma de trabajo

1. Tres clases por semana con el profesor para ver teoría y dos clases con el ayudante para hacer ejercicios y reforzar la teoría.

2. En el classroom rtv2jti subiremos las tareas, los examenes, los libros de consulta y los avisos generales del curso.

3. Todas las actividades con el ayudante (ejercicios, tareas, etc.) contarán por un punto o la parte proporcional extra a la calificación final.

Forma de evaluación

• Tareas-examen individuales o en equipo. En cada caso daremos tiempo suficiente para que se puedan resolver con cuidado (~ 1 semana). Haremos 4 o 5 de estas evaluaciones parciales, dependiendo de los temas que alcancemos a estudiar.
• Hay reposiciones, pero serán exámenes escritos durante la hora de la clase en el salón de la clase. Haremos 2 o 3 reposiciones (respectivamente), dependiendo del número de evaluaciones parciales.
• Sí hay examen final y se hará de acuerdo a las fechas que establezcan las autoridades de la Facultad.
• La calificación final será la suma de los promedios aritméticos de las evaluaciones parciales y de las actividades con el ayudante.