Matemáticas (plan 1983) 2025-1

Optativas de los Niveles V y VI, Geometría Diferencial II

Geometría Diferencial II (Geometría intrínseca de superficies y variedades)

Profesor Jesús Núñez Zimbrón. Correo: nunez-zimbron@ciencias.unam.mx
Ayudante Andreo Chimal García. Correo: andreochimal@ciencias.unam.mx

¿De qué se trata el curso?

Con todas las herramientas y conceptos que construimos en Geometría Diferencial I pudimos hablar (y hablaremos todavía más) sobre la geometría intrínseca de las superficies regulares. Sin embargo, es aparente que una gran cantidad de conceptos de Geometría Diferencial I admiten generalizaciones inmediatas a dimensiones superiores. Por ejemplo, en la definición de superficie regular, nada nos impide reemplazar R³ por Rⁿ (con n>3, o incluso ¡con n=1!) y estudiar los objetos resultantes (que se suelen llamar variedades diferenciables). De hecho, es aparente que sería posible dar una definición en abstracto (es decir, sin apealar a Rⁿ) de variedad diferenciable. En el curso, después de completar nuestro tratado de la geometría de superficies, hablaremos de variedades en abstracto y de todas las propiedades que se preservan al generalizar, pero también de aquellas que se pierden por completo. Pondremos especial énfasis en desarrollar las herramientas algebraicas (e.g. cálculo tensorial, incluyendo formas diferenciales) y analíticas (e.g. teoría de diferenciación e integración en variedades) que trae consigo esta generalización y que permitirán eventualmente tomar un curso de Geometría Riemanniana o Relatividad sin mayor problema.

Prerrequisitos

Es indispensable haber cursado Geometría Diferencial I y dominar los conceptos centrales, tales como curva parametrizada regular, superficie regular, plano tangente, primera y segunda formas fundamentales, curvaturas gaussiana y media. Es recomendable (pero no necesariamente indispensable) haber cursado Álgebra Lineal II. Se espera que dominen los conceptos de los cursos de Cálculo (en especial las ideas fundamentales de topología que en ellos se desarrollan).

Evaluación

Evaluaremos el curso con cinco tareas-examen correspondientes a cuatro ejes temáticos. El promedio de estas constituirán el 100% de la evaluación. Igualmente se dejarán problemas y tareas morales a modo de punto extra (cada tarea moral valdrá una décima en la calificación final) durante las clases y las ayudantías, los cuales fungirán como retos a su creatividad y les ayudarán a subir su calificación final. Las tareas morales sólo cuentan si están resueltas completamente, correctamente y se entregan a tiempo (no hay puntuación parcial).

Dado que se evaluará con tareas-examen se pondrá especial atención al plagio/copia, tanto entre estudiantes como con páginas de internet. Nos reservamos el derecho de anular la tarea-examen correspondiente (o parte de esta) y/o de hacer evaluaciones orales si sospechamos de esta situación. Si se detecta plagio en las tareas morales se puede perder derecho a la asignación de los puntos extra obtenidos durante el semestre.

En este curso respetamos el reglamento general de exámenes, el cual establece que una calificación aprobatoria es irrenunciable. Así que si sacas una calificación aprobatoria, no se pondrá NP bajo ninguna circunstancia.

El NP se otorga únicamente a aquellas personas que hayan realizado a lo más tres tareas-examen.

Reposiciones

• Cada estudiante tiene derecho a un examen de reposición (no tarea) de uno solo de estos ejes temáticos. Este reemplazará la calificación de la tarea correspondiente siempre que sea mayor o igual a esta.
• Cada estudiante tiene derecho a un examen final (no tarea), cuya calificación sobreescribe absolutamente todo el trabajo hecho a lo largo del curso, independientemente de si esta es mayor o menor.

Trabajo en clase

• Será obligatorio registrarse en un aula de Google Classroom (el código correspondiente será provisto los primeros días de clase), en donde se harán la mayoría de anuncios correspondientes al curso, así como publicación del material relevante como tareas, notas, videos, etc.
• Los días de la clase con el profesor son lunes, miércoles y viernes.
• Las ayudantías (los martes y jueves) son esenciales para el desarrollo de la clase y NO son opcionales. En ellas se discutirán ejercicios, ejemplos, contraejemplos y problemas que complementen de manera sustancial la teoría vista por el profesor, así como temas en paralelo en algunas ocasiones. Es común utilizar lo visto en la ayudantía durante las clases y viceversa. Así pues, incluiremos en las evaluaciones todo lo discutido en las ayudantías.

Contenido temático

No hay un temario oficial de la materia, aunque se sugiere el siguiente:

https://www.fciencias.unam.mx/sites/default/files/temario/247.pdf

Resumen del temario:

1. Geometría intrínseca de superficies.
   1. Isometrías e isometrías locales.
   2. Campos vectoriales y derivada covariante.
   3. Símbolos de Christoffel.
   4. Métricas riemannianas y tensor de Riemann
   5. Theorema Egregium.
   6. Geodésicas y curvas minimizantes
   7. Mapeo exponencial
   8. Transporte paralelo
   9. *** Campos de Jacobi y una aplicación a curvatura ***
2. Introducción a las variedades diferenciables
   1. El concepto de variedad en abstracto
   2. Ejemplos
   3. Funciones suaves entre variedades
   4. Haz tangente y cotangente
3. Análisis tensorial en variedades.
   1. Campos vectoriales
   2. Formas diferenciales
   3. Campos tensoriales de tipo (p,q)
4. Integración en variedades
   1. Variedades con frontera
   2. Espacio tangente de una variedad con frontera
   3. Orientabilidad y orientaciones
   4. Integración de formas diferenciales
   5. Teorema de Stokes
   6. Aplicación a dimensión 2: Teorema de Gauss-Bonnet
5. *** Un vistazo a la geometría de comparación ***
   
   Los temas marcados con *** se verán solo si el tiempo lo permite.

Filosofía del curso

• Es importante hacer notar que los cursos de la carrera están interconectados y no constan de conocimeintos aislados (incluso no tendremos miedo de usar herramientas de los otros cursos de los primeros cuatro semestres). Como tal, los animamos encarecidamente a tratar de aplicar todo lo visto en sus demás cursos, así como a utilizar cualquier argumento y/o herramienta de otros cursos, propiamente justificada.
• Se dice a veces que las matemáticas "no son un deporte de espectador" o, en otras palabras, para aprender matemáticas es necesario hacer matemáticas. Se recomienda discutir (mas no copiar) las tareas en grupos de estudio.

Sobre la convivencia

• En nuestros cursos nos adherimos a la política de CERO TOLERANCIA A LA VIOLENCIA DE GÉNERO Y DE CUALQUIER OTRO TIPO, ya sea entre estudiantes, desde el profesor hacia el estudiante, ayudante hacia estudiante, violencia digital, o cualquier otra forma de violencia y/o violencia de género. Aquí también les dejo la declaratoria, que les hago hincapié es muy importante que conozcan.

https://www.gaceta.unam.mx/declaracion-tolerancia-cero-hacia-la-violencia-de-genero-en-las-universidades/

• Asimismo, les recuerdo que nos adherimos a los principios de ética de la UNAM; particularmente a aquellos que tienen que ver con la imparcialidad y transparencia de las evaluaciones.

https://coordinaciongenero.unam.mx/2015/07/codigo-de-etica-de-la-universidad-nacional-autonoma-de-mexico/

• Les invitamos a que si han sufrido alguna situación de violencia de género o si no están segurxs si la han sufrido se acerquen a la Comisión de Equidad quien les podrá brindar ayuda y orientación.

• Para facilitar nuestra convivencia de manera ética, profesional y amena, toda comunicación con el profesor y lxs ayudantes será exclusivamente por el classroom del curso o por correo institucional. No responderemos dudas por otros medios.

Sobre la logística y evaluaciones en caso de paro

• En caso de que haya paros, continuaremos las clases en zoom.
• En caso de que el esquema de evaluación se vea afectado por algún paro (por ejemplo, al no poder realizar una de las evaluaciones), se redefinirá dicho esquema, para conveniencia del grupo, ayudante y profesor.

Si te inscribes al curso, aceptas cabalmente todos los lineamientos aquí expuestos.

Bibliografía

Bär, C. Elementary Differential Geometry. Cambridge University Press, 2010.

Lee, J.Introduction to smooth manifolds. Springer New York, 2003.

Do Carmo, M. Differential Geometry of Curves and Surfaces. Dover 1976.

Kobayashi, S. Differential Geometry of Curves and Surfaces. Springer 2019

Complementaremos con otros (mencionados en clase cuando así se requiera) en partes específicas del curso.