Matemáticas (plan 1983) 2025-1

Optativas de los Niveles V y VI, Geometría Diferencial I

Presentación

Este curso es una introducción a la geometría diferencial y sus parientes más cercanos. Según el programa oficial, veremos los casos clásicos de curvas y superficies en el espacio euclidiano (“erre tres”), donde podemos visualizar más fácilmente los conceptos y resultados básicos de la teoría. Para este curso es conveniente tener un buen conocimiento del álgebra lineal, el cálculo vectorial y, en ocasiones, de ecuaciones diferenciales.

Sin embargo, el contenido del curso se puede adaptar fácilmente para dar la motivación de algunos conceptos más avanzados que no sólo tienen utilidad en geometría, sino también en física. Así, en este curso daremos una indicación de la forma de trabajar con la geometría del espacio de Minkowski, entre otras generalizaciones de la teoría básica.

Al principio veremos una especie de repaso de la teoría de curvas en el espacio euclidiano, que en general es conocido por los cursos de Cálculo. Pero el centro del temario será el estudio de las superficies, siempre apoyados por las técnicas del cálculo diferencial.

La teoría es clásica; de hecho, algunos de los resultados que veremos datan de hace varios siglos, por lo que no es difícil encontrar una buena cantidad de libros de texto útiles en esta materia. Sin embargo, desde hace casi medio siglo se ha impuesto, por su claridad de exposición, el uso del libro de Manfredo do Carmo citado en la bibliografía.

Siendo ésta la materia a la que me dedico, este curso tiene también la no tan velada intención de invitar a los estudiantes para que se adentren en esta línea de trabajo, de la cual iremos comentando a lo largo del semestre.

Forma de trabajo

El material (esta presentación, la dosificación, las listas de ejercicios, las calificaciones) estará disponible en un grupo de Classroom, cuyo enlace se enviará una vez iniciado el curso. Favor de registrarse en Classroom con su correo institucional (@ciencias.unam.mx) y verificar que aparezca su nombre completo como identificador.

Listas de ejercicios

Publicaremos en Classroom una lista de ejercicios representativos, de modo que puedan practicar de manera constante a lo largo del semestre. La entrega de estos ejercicios NO será requerida, pero como se verá en la siguiente sección, se recomienda fuertemente que traten de resolverlos.

Calificaciones

Algunos ejercicios del examen saldrán de las listas de ejercicios ya mencionadas. Haremos cuatro exámenes parciales (con 4 preguntas cada uno) en las siguientes fechas, salvo causas de fuerza mayor:

Viernes 30 de agosto: Curvas (Capítulo 1 del libro de do Carmo)

Viernes 20 de septiembre: Geometría diferencial de superficies (Capítulo 2 del libro de do Carmo)

Viernes 25 de octubre: Geometría intrínseca y extrínseca (Capítulos 3, secciones 4.2, 4.3, 4.4 del libro de do Carmo)

Viernes 22 de noviembre: Teoremas globales (Secciones 4.5 y 5.3 del libro de do Carmo)

El día que nos toque la segunda vuelta se presentará a lo más una reposición o el examen final. En caso de que la División de Estudios Profesionales no asigne algún día, haremos esta reposición o final el viernes 06 de diciembre. Los ejercicios de las reposiciones y el examen final NO saldrán de las listas de ejercicios ya mencionadas.

La calificación final será el máximo entre:

(1) El promedio de calificaciones de los exámenes parciales.

(2) El promedio de calificaciones de los exámenes parciales contando la reposición.

(3) La calificación del examen final.

La calificación mínima aprobatoria será 6.0.

Las calificaciones finales 6.5, 7.5, 8.5 y 9.5 “suben” a 7, 8, 9 y 10 respectivamente.

Para cualquier duda y asesoría, estaremos disponibles vía Classroom o por correo electrónico.

¡Nos veremos!

Oscar Palmas

Cubículo 236

Departamento de Matemáticas

Facultad de Ciencias

oscar.palmas@ciencias.unam.mx

Bibliografía

Do Carmo, M. P., Differential Geometry of Curves and Surfaces, 1976.

O’Neill, B., Semi-riemannian Geometry with Applications to Relativity, 1983.

Palmas, Reyes, Curso de Geometría Diferencial, publicado en dos volúmenes, 2005-2006.