Matemáticas (plan 1983) 2025-1

Optativas de los Niveles V y VI, Ecuaciones Diferenciales II

El propósito de este curso es estudiar las ecuaciones diferenciales ordinarias no lineales bajo el punto de vista de la Teoría Cualitativa, donde utilizaremos herramientas matemáticas de la geometría, álgebra, análisis, asintótica y métdos numéricos. Este curso está dirigido a físicos, matemáticos, matemáticos aplicados y actuarios. Nuestro propósito en este curso es estudiar las ecuaciones diferenciales ordinarias (EDO) no lineales en el plano, donde mostraremos los teoremas fundamentales de existencia, unicidad, sobre la variación de condiciones iniciales y de los parámetros. Partiendo de ejemplos concretos, introducimos el concepto de flujo para analisar el comportamiento de las soluciones en el infinito, sus puntos fijos y órbitas periódicas y las condiciones de estabilidad de las soluciones. Utilizando técnicas asintóticas estudiaremos la construcción aproximada de soluciones y también analizaremos técnicas numéricas.

Este curso es una primera introducción a los sistemas dinámicos, a la teoría cualitativa de las ODE cuyo propósito es hacer ver las ecuaciones diferenciales como la herramiente más poderosa para entender la evolución de los problemas de la naturaleza en función del tiempo. Este curso está fuertemente conectado con la Mecánica Clásica (sin embargo no es necesario haber llevado el curso de Mecánica para llevar este curso). Las materias necesarias para poder llevar el curso son: Cálculo I, II, III y IV, Algebra lineal, Geometría Analítica, Variable Compleja. El temario del curso es el siguiente:

1) Teoremas de existencia, unicidad y continuidad de soluciones ante variaciones de condiciones iniciales y parámetros.

2) Sistemas de ecuaciones de primero orden: revisión de sistemas lineales, flujo en el espacio fase, clasificación de los puntos fijos.

3) Teoría del índice de puntos críticos en el plano. Definición, índice de una curva cerrada y de putnos críticos, índice de puntos en el infinito y descripción del flujo global.

4) Orbitas periódicas en el plano: Ciclos límites, criterio de Bendixson, alfa y omega límites, teorema de Poincaré-Bendixsdon, ecuaciones de Liennard.

5) Teoría de establidad: Integrales de movimiento, estabilidad de Lyapunov, estabilidad orbital.

6) Teoría de Floquet: Teorema de Floquet, sistemas lineales, ecuación de Hill y Mathieu, lenguas de Arnold y estabilidad de órbitas periódicas.

7) Teoría de pertubaciones: Perturbaciones de sistemas, orden de magnitud, expansiones y soluciones aproximadas, convergencia. Método de Poincaré Lilndsted, osciladores no lineales.

8) Variedades invariantes de los puntos fijos.

Sobre la bibliografía, este curso esta basado en los libros de Verhulst, J. Cronin, D. Jordan, L. Perko, etc.