Matemáticas (plan 1983) 2025-1

Optativas de los Niveles VII y VIII, Análisis Matemático III

Análisis Matemático III

El análisis matemático es el estudio de espacios de funciones. En los cursos básicos de análsis real normalmente se estudian los espacios de funciones continuas C(X), los espacios de funciones p-integrables L^p y a veces incluso los espacios de Sobolev W^(m,p)(U) o los espacios de distribuciones D'(U). Todos estos espacios de funciones tienen una característica en común: son espacios vectoriales de dimensión infinita. El estudio de espacios vectoriales le corresponde al álgebra lineal, sin embargo, esta área trata principalmente con espacios de dimensión finita. Esto pone a nuestro alcance el uso de bases para describir a los elementos de un espacio vectorial. Esta herramienta tan básica permite representar a operadores como matrices y permite utilizar herramientas como el determinante para tratar con teoría espectral. En dimensión infinita muchas de estas herramientas no son tan útiles o no están disponibles. Las técnicas únicamente algebraicas no son suficientes para estudiar los espacios de dimensión infinita. Para estudiar espacios de dimensión infinita es necesario combinar métodos algebraicos con métodos topológicos. De esto se encarga el análisis funcional.

En este curso estudiaremos los conceptos básicos del Análisis Funcional. El objetivo es estudiar las estructuras topológicas más útiles en espacios de dimensión infinita, las propiedades básicas de operadores lineales entre ellos y teoría espectral básica.

La evaluación del curso será por medio de tareas-examen, uno por cada tema (ver abajo). Utilizaremos un grupo de Google Classroom para anuncios, tareas y material complementario.

Código de Google Classroom:

Los temas a cubrirse son los siguientes:

1. - Espacios Vectoriales, Métricos y Topológicos

2. - Espacios de Banach y Operadores Lineales

3. - Topología Débil

4. - Espacios de Hilbert y Teoría Espectral

Las referencias principales del curso son los libros de Rudin, Royden y Megginson (ver la bibliografía). Adicionalmente, hemos recopilado una bibliografía recomendada que consiste de libros más accesibles para iniciarse en el estudio del Análisis Funcional. Prepararemos notas del curso que abarcarán todo lo visto en clase.

Cualquier duda o comentario siéntanse libres de escribirnos a nuestros correos:

Profesor Luis Antonio Cedeño: luisacp@ciencias.unam.mx

Ayudante Hugo Reyna Castañeda: hugoreyna46@ciencias.unam.mx

Bibliografía:

Bibliografía Recomendada:

- George Bachman, “Functional Analysis”, Dover, 1966.

- Erwin Kreyszig, “Introductory Functional Analysis with Applications”, John Wiley & Sons, 1978.

- M. Thamban, “Functional Analysis. A First Course”, PHI Learning Private Limited, 2002.

Referencias principales:

- Walter Rudin, “Functional Analysis”, McGrawhill, 1973.

- H. L. Royden, “Real Analysis”, Pearson, 2009.

- Robert E. Megginson, “Introduction to Banach Space Theory”, Springer, 1998.

Referencias Generales:

- Angus E. Taylor, “Introduction to Functional Analysis”, Robert E. Krieger Publishing Company, 1958.

- Charalambos D. Aliprantis, “Infinite Dimensional Analysis”, Springer, 1999.

- Peter D. Lax, “Functional Analysis”, John Wiley & Sons, 2002.