Matemáticas (plan 1983) 2025-1

Sexto Semestre, Análisis Matemático II

Forma de trabajo:

Se impartirán clases presenciales en el horario y salón indicados (grabaremos las clases). Auxiliarmente usaremos Google Classroom para compartir recursos, tareas e información del curso. En caso de necesitar reuniones virtuales usaremos zoom (el enlace se especificará mediante Google Classroom).

Código de Classroom: mhotwdt

Forma de evaluación:

Se realizarán 4 exámenes y tareas-exámenes, con un valor del 100% de la calificación.

Se realizarán exposiciones de las soluciones de algunos de los ejercicios, lo que contará como un punto extra de la calificación.

Temario:

Parcial 1. Espacios de medida y funciones medibles.

1. Clases de subconjuntos: anillo, álgebra, σ-anillo, σ-álgebra; la σ-álgebra de Borel (extendida).
2. Funciones medibles (semicontinuas, simples) y el teorema de aproximación mediante funciones simples.
3. Funciones medibles con valores complejos y en la recta real extendida.
4. Medidas sobre σ-álgebras, definición de la medida de Lebesgue.
5. Espacios de medida.

Parcial 2. Teoremas de convergencia y espacios de Banach Lp.

1. Integral de funciones medibles (definición mediante funciones simples).
2. Teorema de convergencia monótona.
3. Lema de Fatou.
4. Integral de Lebesgue y su comparación con la integral de Riemann.
5. El espacio de funciones integrables.
6. Teorema de convergencia dominada de Lebesgue.
7. Espacios Lp de Banach.
8. Desigualdades de Hölder y Minkowski.
9. Teorema de Riesz-Fischer (Lp es completo).
10. Medida de conteo y espacios lp.
11. El espacio L∞.

Parcial 3. Medidas exteriores, medida de Lebesgue y convergencia en medida.

1. Casi-medidas, medidas finitas y σ-finitas; medida exterior.
2. Teorema de extensión de Carathéodory-Hopf y teorema de Hahn.
3. Construcción de la medida de Lebesgue a partir de los teoremas anteriores.
4. Teorema de Vitali y el problema difícil de la medida en los reales.
5. Caracterización de conjuntos Lebesgue-medibles.
6. Regularidad de la medida de Lebesgue.
7. Modos de convergencia (c.d.q., convergencia en medida, casi uniforme).
8. Teorema de convergencia dominada en Lp.
9. Teorema de Riesz-Weyl (toda sucesión de Cauchy en medida es convergente en medida).
10. Teoremas de convergencia dominada, lema de Fatou y de convergencia monótona en medida.
11. Teorema de Egorov (en espacios de medida finita la convergencia puntual implica convergencia uniforme).
12. Teorema de convergencia dominada de Egorov.

Parcial 4. Medida producto y teorema de Fubini.

1. Lema de las clases monótonas.
2. Espacio medible producto.
3. Secciones de conjuntos y las integrales de sus medidas.
4. Medida producto.
5. Teorema de Tonelli.
6. Teorema de Fubini.

Parcial 5. Medidas con signo y teoremas de descomposición (si da tiempo; no se evaluará).

1. Medidas con signo.
2. Teorema de descomposición de Hahn.
3. Teorema de descomposición de Jordan.
4. Teorema de Radon-Nikodým.
5. Teorema de descomposición de Lebesgue.

Bibliografía:

Nos basaremos en el libro "Teoría de la medida" de Guillermo Grabinsky, de las prensas de ciencias.