Matemáticas (plan 1983) 2025-1

Temario

El temario de este curso es el siguiente y el cual tiene un orden distinto del oficial el cual se encuentra en la dirección electrónica:

https://www.fciencias.unam.mx/sites/default/files/temario/840.pdf

1. Números Complejos (Álgebra y Geometría)
   1. Definición Axiomática de los números complejos.
      1. Concepto de número complejo
      2. Definición por par ordenado.
      3. Definición de suma y multiplicación.
   2. Números complejos en la forma algebraica.
      1. Equivalencia entre la forma axiomática y algebraica
      2. Potencias del número
      3. Conjugado de un número complejo
      4. Parte real y parte imaginaria de un número complejo
   3. El campo de los números complejos
      1. Significado de los números complejos
      2. El plano complejo
   4. Módulo, norma de un numero complejo
      1. Definición de la norma o módulo de un numero complejo
      2. Interpretación geométrica de la norma de un numero complejo
      3. Desigualdad Triangular y problemas relacionados
      4. Distancia euclidiana
   5. Forma Polar de un número complejo
      1. Representaciones de un numero complejo en forma polar
      2. Operaciones
      3. Interpretación geométrica de la multiplicación, conjugación de un número complejo y el inverso de un número complejo.
      4. Potencias y raíces.
      5. Las raíces “ene”-ésimas de la unidad.
   6. Geometría de los números complejos
      1. Ecuación de la línea recta en el plano complejo.
      2. Ecuación de la circunferencia en el plano complejo
      3. Proyección Estereográfica
         1. Obtención de la proyección del plano complejo a la esfera Unitaria y viceversa
         2. Propiedades de la proyección Estereográfica
         3. El punto al infinito
         4. Introducción a las transformaciones bilineales
         5. Transformaciones de Möbius
   7. Funciones elementales en los números complejos
      1. Mapeos lineales
      2. Forma exponencial de un numero complejo
      3. La exponencial compleja
      4. Funciones Trigonométricas e Hiperbólicas complejas
      5. Las funciones Logaritmo complejo y Potencial compleja
         1. Rama principal y superficies de Riemann
      6. Funciones inversas
      7. Geometría de las funciones
   8. Conjuntos de puntos en el plano complejo
      1. Discos
      2. Vecindades
      3. Regiones
2. Límites y Continuidad
   1. Conceptos básicos de Topología
      1. Espacios Métricos
         1. Métrica
            1. Distintos tipos de métricas
         2. Conjuntos Abiertos
         3. Conjuntos cerrados
         4. Propiedades de los conjuntos abiertos y cerrados
         5. Punto interior, Punto de acumulación
         6. Interior de un conjunto
         7. Cerradura de un conjunto
         8. Definición de sucesión convergente
         9. Equivalencia de la definición de cerradura
   2. Límites de funciones complejas
      1. Teorema sobre límites
      2. Límites al infinito.
3. Continuidad de funciones
   1. Teoremas sobre continuidad
   2. Continuidad uniforme
   3. Subconjuntos compactos y continuidad
3. Derivadas en funciones complejas
   1. Parte real e imaginarias de las funciones
   2. Definición de la derivada
   3. Reglas para la diferenciación
   4. Interpretación geométrica de la derivada
   5. Analiticidad
      1. Definición
      2. La analiticidad en un punto y en un abierto
      3. Funciones analíticas, meromorfas, holomorfas
      4. Ecuaciones de Cauchy-Riemann (Condiciones de D’Alembert-Euler)
         1. Forma rectangular
         2. Forma polar
      5. Condiciones necesarias para la analiticidad
      6. Condiciones suficientes para la analiticidad
   6. Derivadas de orden superior
   7. Regla de L’Hôpital
   8. Funciones Armónicas
   9. Ecuación de Laplace
   10. Interpretación Física de la derivada: campos vectoriales sin fuentes e irrotacionales
4. Integración en funciones complejas
   1. Integrales de línea
   2. Conexidad, Conjuntos arco conexos o conexos por trayectorias, recintos simplemente conexos, homotopía
   3. Integrales complejas
   4. Reglas para la integración
   5. Teorema de Green
   6. Teorema de Cauchy-Goursat
   7. Independencia de la trayectoria
   8. Otras formas del Teorema de Cauchy
   9. Fórmulas de las integrales de Cauchy y sus consecuencias.
      1. Índice de un circuito
      2. Signo o sentido de un circuito simple
      3. Extensiones del teorema de Cauchy.
   10. Algunas consecuencias del teorema de Cauchy: derivadas de orden superior
5. Series de Potencias
   1. Definición de sucesiones y series
      1. Conjuntos de Julia y de Mandelbrot
      2. Series Geométricas y teoremas de convergencia
      3. Series de Potencias
      4. Convergencia Uniforme
   2. Series de Taylor
      1. Representación de las series de Taylor
   3. Series de Laurent
      1. Representación de las series de Laurent
      2. Definición de singularidad, ceros y polos
   4. Aplicación de Series de Taylor y Series de Laurent
6. Teorema del residuo
   1. Ceros y polos de una función
   2. Puntos singulares aislados
   3. Residuos de funciones
   4. Teorema del residuo
   5. Algunas consecuencias del Teorema del Residuo
   6. Aplicaciones del Teorema del Residuo
      1. Evaluación de integrales definidas
      2. La transformada inversa de Laplace

Forma de Calificar

Debido al horario que tenemos las evaluaciones van a ser 3 o 5 tareas exámenes, estas tarea son de entrega individual, que se van dejar de un día para otro.

Las preguntas del examen saldrán de una tarea de 15 preguntas que se van a dejar con una antelación de 15 días, la entrega de esta tarea es opcional, pero si sentrega esta tarea sirve para las decimas para subir al siguiente entero, donde esta se puede hacer en equipo de 5 integrantes.

Hay dos vueltas de exámenes finales (esto lo marca el Reglamento General de Exámenes).

Donde el alumno puede presentar en una o en dos vueltas.

En las fechas de los exámenes ordinarios se puede reponer los exámenes que no sean aprobatorios o par subir el promedio final

Bibliografía