Matemáticas (plan 1983) 2025-1

Quinto Semestre, Variable Compleja I

PRESENTACIÓN

En este curso estudiaremos las funciones analíticas, su integración y su representación local en series de potencias. Estudiaremos sus singularidades y el método de cálculo de residuos para calcular integrales.

El curso se desarrollará de forma presencial.

El curso se impartirá con un enfoque geométrico lo cual facilitará a los estudiantes la comprensión de su contenido, así como el acercamiento al estudio de la Geometría con estas técnicas. Además, permitirá a aquellos interesados en estos temas, acceder al proyecto de investigación en Geometría del profesor del curso. Este proyecto cuenta con becas estudiantiles.

Requisitos

Los cuatro cursos de cálculo..

Evaluación

Se evaluará con cuatro tareas que cubrirán todos los temas. La participación en clase será considerada para la evaluación final. Es importante que los estudiantes asistan a las ayudantías también pues han sido diseñadas para la discusión de las tareas complementando de forma relevante el curso.

Contenido

1. Funciones analíticas

1.1 Álgebra y geometría compleja.

1.2 Proyección estereográfica

1.3 Funciones elementales: racionales, exponencial, trigonométricas.

1.4 Funciones multivaluadas: Ramas de logaritmo, potencias, raíces.

1.5 Geometría de estas funciones.

1.6 Ecuaciones de Cauchy-Riemann

1.7 Teorema de la función inversa.

1.8 Diferenciación de las funciones elementales, dominios analíticos, puntos rama y cortes rama.

2. Integración

2.1 Integral compleja, el teorema fundamental del cálculo, cotas

superiores de integrales.

2.2 Lema de Goursat, teorema de primitivas locales.

2.3 Teorema de Cauchy.

2.4 Teorema de la deformación y de Cauchy con homotopía (opcional).

2.3 Teorema de Morera.

2.4 Integrales de tipo Cauchy, índice, fórmulas integrales de Cauchy.

2.5 Teoremas de Liouville y fundamental del álgebra.

2.6 Lema de Schwartz y teorema del módulo máximo par funciones analíticas y armónicas.

2.7 Funciones armónicas conjugadas, problema de Dirichlet y fórmula de Poisson.

3. Series

3.1 Criterio M de Weierstrass, teorema de Weierstrass o de la convergencia analítica.

3.2 Lema de Abel, teorema de Taylor, criterios para el radio de convergencia, producto de series de potencias.

3.3 Teorema de Laurent.

3.4 Singularidades, clasificación de singularidades, teorema de Casorati-Weisrstrass.

4. Teorema del residuo

4.1 Teorema del residuo.

4.2 Cálculo de integrales impropias de funciones racionales, cálculo de integrales trigonométricas.

Bibliografía

Churchill, R.V. , Complex variables and Applications,New York, McGraw- Hill, 1996.

Lascurain, A., Notas para el curso de Variable Compleja I, Vinculos Matemáticos #3, México,Facultad de Ciencias, 2000.

Marsden, J.E., Análisis Básico de Variable Compleja, México, Trillas, 1996.

Datos del profesor

Dr. Federico Sánchez Bringas.

Profesor titular C del Departamento de Matemáticas. F.C.

Investigador del Sistema Nacional SNII, nivel 3.

Responsable del Proyecto PAPIIT- T101924: Geometría de Subvariedades, DGAPA.

Área de investigación: Geometría Diferencial.