Matemáticas (plan 1983) 2025-1

Quinto Semestre, Variable Compleja I

0. Breve historia de los números complejos (la ecuación cúbica).

1. El campo de los números complejos
-Definición, propiedades básicas, aritmética, álgebra, representación polar, fórmula de Moivre, fórmula de Euler, raíces de números complejos.
-El plano complejo extendido (la esfera de Riemann), proyección estereográfica, métrica cordal.
-Topología de C y del plano complejo extendido.
-Sucesiones.

2. Funciones de variable compleja.
-Límites y continuidad
-Funciones lineales de C en C (y su correspondencia con transformaciones lineales de R² en R²).
-Propiedades geométricas.
-Ejemplos de funciones no lineales
2.1 Derivada compleja.
-Recordatorio de la derivada para funciones de R² en R².
-Derivada compleja para funciones de C en C.
-Derivadas parciales
-Ecuaciones de Cauchy-Riemann.
-Funciones holomorfas y antiholomorfas.
-Funciones conformes.
-Ejemplos.

3. Funciones especiales.
-Funciones armónicas.
-Funciones homográficas (transformaciones de Moebius)
-Exponencial compleja y funciones trigonométricas.
-Logaritmo complejo.
-Raíces z^{p/q}

4. Integración compleja.
-Integral a lo largo de una curva.
-Teorema fundamental del cálculo complejo.
-Definición de primitivas.
-Primitivas locales.
-Lema de Goursat.
-Teorema de Cauchy.
-Teorema de deformación.
-Ramas de logaritmo.
-Fórmula integral de Cauchy.

5. Aplicaciones.
-Teorema de Morera.
-Teorema de Liouville.
-Teorema fundamental del álgebra.
-Teorema del módulo máximo.
-Lema de Schwarz.

6. Series de potencias.
-Propiedades básicas de series complejas.
-Serie de Taylor.
-Radio de convergencia.
-Fórmula de Cauchy-Hadamard
6.1. Series de Laurent.
-Singularidades aisladas (removibles, polos, esenciales)
-Funciones meromorfas.
-Teorema de Casorati-Sohotsky-Weierstrass.
-Residuos.
-Teorema del residuo.
-Principio del argumento.


Se evaluará con exámenes y tareas-examen. A parte de eso habrá unas listas de ejercicios para estudiar y prepararse para los exámenes.

Haremos uso de un aula virtual de Classroom para avisos y para subir listas de ejercicios en cada bloque.

Los exámenes serán de una hora (si es necesario, y posible, extendible a dos), y estarán basados en las listas de ejercicios que se subirán en el Classroom para cada bloque (no necesariamente serán iguales las preguntas).

Las calificaciones se redondean de n.5 a n+1 para n>5 (ojo, mayor estricto que 5).

Se podrán reponer al final del curso a lo más 3 exámenes distintos. Para presentar examen final hay que avisar por correo una semana antes de comenzar las reposiciones y se debe de haber presentado al menos la mitad de las evaluaciones del curso.

Todo esto es pensando que el semestre transcurre de manera normal. En caso de alguna eventualidad durante el semestre, haremos los ajustes que sean necesarios, con la finalidad de abarcar de la mejor manera el temario y aprovechar en lo mejor posible el tiempo del semestre.

Bibliografía

1. Boris Shabat, Introduction a l'analyse complexe
2. Lars V. Ahlfors, Complex analysis.
3. Reinhold Remmert, Theory of complex functions.
4. Ruel V. Churchil, Complex variables and applications.
5. Javier Paez, Elementos básicos de variable compleja.

Otros libros que también pueden consultar

5. Jerrold E. Marsden, Michael J. Hoffman, Basic complex analysis.
6. Antonio Lascurian, Curso básico de variable compleja.
7. Tristan Needham, Visual complex analysis.

Cualquier otro libro que no esté en esta lista también les puede ser de utilidad, pero lo más importante antes de consultar bibliografía es pensar por cuenta propia.