Matemáticas (plan 1983) 2024-2

Optativas de los Niveles VII y VIII, Seminario de Análisis Combinatorio

El horario de clase será de 16:00 a 17:00.

Teoría de Diseños.

En 1850, el Reverendo Thomas Penyngton Kirkman FRS publicó en el diaro The Lady's and Gentleman's Diary el siguiente problema:

"Quince colegialas en una escuela caminan en hileras de tres en tres por siete días consecutivos, se requiere acomodarlas de tal forma que no haya dos de ellas que caminen en la misma hilera en más de una ocasión."

El problema anterior requiere acomodar a unas niñas, por lo que podríamos pensar que tenemos solamente un conjunto de 15 niñas. Pero si ponemos atención, se nos pide acomodarlas en ternas, de tal forma que también tenemos un conjunto de ternas, siendo cada terna un subconjunto de niñas. Acomodarlas de acuerdo a la condición de que no se junten dos niñas más de una vez es un problema que se enuncia de manera muy fácil, pero que en principio no sabemos si es posible. En caso de existir una solución, lo que obtendremos será un diseño de bloques incompleto balanceado, también un Sistema de Steiner (no siempre son lo mismo).

Los diseños de bloques son estructuras de incidencia finitas, esto es, dos conjuntos (puntos y bloques) finitos con una relación de incidencia entre ellos. Es conveniente pensar en cada bloque como un subconjunto de puntos, (aquellos puntos con los que es incidente). Este curso cubre algunas de las definiciones y resultados principales de la Teoría de Diseños de Bloques, considerando aquellos t-(v,k,λ) diseños que son incompletos, balanceados, y simples, es decir: El diseño tiene v puntos, y cada bloque es incidente con k de ellos, de tal forma que ningún bloque tiene a todos los puntos (incompleto k<v), que cualquier subconjunto de puntos de cardinalidad t es incidente con el mismo número (λ) de bloques (balance), y no tiene bloques repetidos (simple).

Es conveniente (no indispensable) para este seminario haber cursado Álgebra Lineal 1.

Los temas son los siguientes:

1. Diseños de bloques incompletos balanceados.

1.1 Definiciones y propiedades básicas.
1.2 Isomorfismos y automorfismos (sin profundizar).
1.3 Construcción de diseños nuevos a partir de diseños existentes.
1.4 Diseños derivados y residuales.

2. Diseños simétricos.

2.1 Definiciones y propiedades fundamentales.
2.2 Teorema de Bruck-Ryser-Chowla.
2.3 Planos proyectivos (y planos afines, aunque no son simétricos) finitos.
2.4 Biplanos.
2.5 Conjuntos de diferencia (sin profundizar).
2.6 Diseños y matrices de Hadamard (sin profundizar).

3. Algunas familias.

3.1 Arreglos ortogonales.
3.2 Sistemas de Steiner y Kirkman.
3.3 Cuadrados latinos.

Además de algunas notas personales de las que sale el material para el curso, aquí hay tres libros de apoyo:

[1] I. Anderson, Combinatorial Designs and Tournaments, Oxford University Press, 1997, 237pp.

[2] D. R. Stinson, Combinatorial Designs, Construction and Analysis, Springer, 2004, 300pp.

[3] Z. X. Wan, Design Theory, Higher Education Press and World Scientific, 2009, 221pp.