Matemáticas (plan 1983) 2024-2

Optativas de los Niveles VII y VIII, Seminario Matemáticas Aplicadas I

El siglo veinte se caracterizó por grandes descubrimientos científicos y matemáticos. Un ejemplo de ello fue la introducción de la integral de Lebesgue (1901) y de los desarrollos de Borel (1903) sobre teoría de la medida. Todo ello evolucionó e hizo posible la generación de espacios en los que se realizan hoy en día los aspectos más importantes del análisis matemático moderno. Es de mencionar que en los albores de la construcción de la teoría de la medida se consideraron diversos esquemas de generalización de la integral de Riemann, y que el concepto de medida que utilizamos el día de hoy es el que después de diversos análisis y de su aplicación, se consideró que representaba la opción más sólida.

El concepto de derivada que data desde Newton y Leibnitz ha sido uno de las piedras angulares en el desarrollo de la física y de un sin número de aplicaciones. Desde casi al principio una pregunta que se generó consistía sobre qué había entre la función y su primera derivada (digamos la derivada un medio), incluso sobre si la pregunta tenía sentido (discusión entre L´Hopital y Leibnitz). No menos importante era el considerar si esto tendría algún tipo de utilidad práctica.

Recientemente ha habido una pléyade de artículos narrando la aplicación del cálculo fraccional a un número igualmente grande de aplicaciones. Esta herramienta ha sido peculiarmente útil en encontrar nuevos modelos predictivos que el cálculo tradicional no es capaz de generar.

Es de destacar sin embargo que en la literatura existen varias definiciones de derivada fraccional y que éstas son utilizadas por los autores de acuerdo a la aplicación específica que desean abordar. Es incluso posible que utilicen distintas definiciones entre el caso temporal y el espacial. Esto no es sorprendente, es sólo que el campo es hoy en día uno con innovación acelerada y muy activa.

En el curso, se pretende dar las principales definiciones que hay en la literatura de derivada fraccional. (nota de cautela: por tradición se llama fraccional pero puede ser real e incluso compleja). Se utilizará un tiempo en desarrollar las herramientas matemáticas necesarias, y se harán las comparaciones correspondientes. En razón de que la emergente importancia de esta herramienta se debe a las aplicaciones que se han desarrollado, se ilustrará con algunas de ellas la utilización y lo beneficios que esta herramienta genera.

El temario a desarrollar es:

1. Introducción.

2. Breve introducción a operadores en un espacio de Hilbert

2.a Operadores positivos

2.b Operadores no acotados

2.c. Potencia de operadores

3. Transformada de Fourier y de Laplace
   1. Definición y propiedades
   2. Convolución y propiedades
4. Integración fraccional.
   1. Teorema de Fubini
   2. Fórmula de integración de Riemann-Liouville.
   3. La función Gama y sus propiedades.
   4. Funciones que pueden ser integradas fraccionalmente
5. Derivación fraccional.
   1. La derivada de Caputo.
   2. Otras derivadas fraccionales.
6. Aplicaciones de la derivación fraccional.
   1. Ejemplos.
   2. Resultados obtenidos.