Matemáticas (plan 1983) 2024-2

Optativas de los Niveles VII y VIII, Variable Compleja II

Cubrirermos el temario oficial 841.pdf (unam.mx) aunque para nivelar la dificultad de los temas los agruparemos de forma un poco diferente.

Requisitos.

Para seguir la toería del curso es necesario haber llevado el curso de Variable Compleja I y haber cubierto mínimo las secciones de Diferenciabilidad, Integración y Series.

La sección correspondiente al teorema del residuo es recomendada pero la veremos en la primer sección.

El curso de Análisis Matemático I y el teorem de Arzela Ascoli ayudará mucho para entender el teorema de Montel, pero no asumiremos nada de esta materia.

Temario.

El temario cubre todos los temas del temario oficial, trataremos de cubrirlos todos durante las clases, las ayudantías o las tareas si es que son sencillos de desarrollar y no se necesitan para temas posteriores. Salvo la primera sección, las secciones son casi independientes, por lo que podemos reorganizar el temario dependiendo de los intereses del grupo.

Los temas marcados con * son opcionales y los veremos dependiendo del tiempo y la dinámica del grupo.

• Aplicaciones del teorema del residuo.

1. El Teorema del Residuo.
2. Evaluación de integrales racionales.
3. Evaluación de integrales trigonométricas.
4. Evaluación de integrales tipo transofrmadas de Fourier.
5. Evaluación de integrales tipo transofrmadas de Mellin.
6. Valor principal de Cauchy.
7. Evaluación de series infinitas.
8. Problema de Basilea.
9. Cálculo de residuos de orden superior.
10. Principio del argumento.
11. Teorema de Rouché.
12. Teorema de Hurwitz.
13. Funciones holomorfas inyectivas.

• Continuación analítica.

1. Principio de la identidad.
2. Transformaciones de Möbius.
3. Simetría en círculos.
4. Principio de reflexión de Schwarz.
5. Gérmenes de funciones analíticas.
6. Continuación analítica a través de curvas.
7. Teorema de la monodromía.
8. Superficies de Riemann de forma intuitiva.*
9. La función Gamma.*
10. La función zeta de Riemann.*

• Funciones analíticas como transformaciones.

1. Comportamiento local.
2. Teorema del mapeo abierto.
3. Geometría de las transformaciones de Möbius.
4. Transformaciones de Möbius que preservan discos.
5. Equicontinuidad.
6. Familias normales.
7. Espacios de funciones analíticas.
8. Teorema de Montel.
9. Teorema del mapeo de Riemann.
10. Comportamiento en la frontera.*
11. Automorfismos del anillo.*

• Funciones enteras y meromorfas.

1. Productos infinitos.
2. Teorema del producto de Weierstrass.
3. Factorización del seno.
4. Teorema de Mittag Leffler.

• Funciones elípticas.

1. Retículas.
2. Funciones simplemente periódicas.
3. Teoremas de Liouville.
4. Función P de Weierstrass.
5. La ecuación diferencial.
6. Función lambda modular.*
7. Función zeta.*
8. Función sigma.*

Dinámica del curso.

En principio, cada semana tendremos tres clases teorícas con Roberto y dos clases de ejercicios y de repaso con Mario, en caso de que una clase teórica coincida con una suspensión de labores, la recuperaremos en la ayudantía siguiente.

Dependiendo del tiempo, dividiremos el curso en cuatro o cinco secciones. Al inicio de cada sección dejaremos una tarea moral para que la puedan resolver conforme vemos los temas, esta consistirá en ejercicios de los temas vistos y el desarrollo detallado de temas extras complementarios. Al final de la sección tendremos un examen o una tarea examen de 24 horas (dependiendo de la dificultad del tema y de la actitud del grupo).

Tendremos un Google Classroom, por el cual compartiremos las tareas. Fuera de esto y a menos que ocurra una situación realmente inesperada, no lo ocuparemos como parte del curso. El códgio del classroom es fjjk3b4 , el enlace de invitación es https://classroom.google.com/c/NjI4MTAxODAxMDY0?cjc=fjjk3b4

El primer día de clases repasaré los puntos de la presentación del curso y detallaré los temas que requeriremos de Variable I

Forma de evaluación.

Tentativamente, la calificación será el promedio de todos los exámenes y tareas exámenes. Adicionalmente, el día del examen podrán entregar su tarea moral, la cual será calificada y tendrá un valor de 1.5 puntos extra sobre la calificación del examen. La calificación máxima por parcial es de 10, es decir que esos puntos no son tranferibles a otro parcial.

Si fuese necesario, se podrán reponer todos los parciales, se asignará la calificación más alta entre el exámenn original con las tareas y el exámen de resposición sin las tareas. Se entiende que el examen final es la reposición de todos los parciales.

Si detectamos plagio en cualquier trabajo que califiquemos, se perderá el derecho a los 1.5 puntos extra en todos los parciales, incluyendo los pasados. Si además, el plagio es en un examen o una tarea examen, este será cancelado.

Bibliografía

• Marsden, J.E., Hoffman, M.J., Análisis Básico de Variable Compleja, México: Trillas, 1996.

• Ahlfors, L.V., Complex Analysis, México: McGraw-Hill, 1979.

• Conway, Jhn B, Functions of One Complex Variable, Springer Verlag Graduate Texts In Mathematics,1975.

• Sigermann, D., Jones, G. Complex functions, Cambridge: Cambridge Univ. Press, 1987.

• Adicionalmente nos guiaremos en las notas del libro en preparación "Un segundo curso en variable compleja" del Dr. Antonio Lascurain.