Encabezado Facultad de Ciencias
Presentación

Matemáticas (plan 1983) 2024-2

Optativas de los Niveles VII y VIII, Sistemas Dinámicos Discretos II

Grupo 4336, 15 lugares. 4 alumnos.
Profesor Renato Leriche Vázquez lu mi vi 12 a 13 O126
Ayudante Jhaziel Estrada Castellon ma ju 12 a 13 O126

 

Horseshoe Julia
Mandelbrot Set TorusFlow


Importante

Información sobre este curso:
  • Presentación del curso: Presencial Lunes 29 y Martes 30 de Enero a las 12:00 hrs en el salón O-126, con transmisión en vivo por Zoom: https://cuaieed-unam.zoom.us/j/89683732829.
  • Inicio de clases del curso: Miércoles 31 de Enero.
  • Inicio de ayudantías del curso: Jueves 8 de Febrero.
  • Modalidad del curso: Presencial en el salón de clase con transmisión en vivo por Zoom, usando un pizarrón virtual y proyector.


Temario

En este curso se introduce al estudio de los sistemas dinámicos discretos en espacios de dimensiones reales mayores a 1 (ℝn, toro, plano complejo, esfera de Riemann, etc). En particular se introducirá al estudio de la Dinámica Hiperbólica de Difeomorfismos en Variedades Diferenciables y la Dinámica Holomorfa en la Esfera de Riemann. Se recordarán las definiciones de los conceptos básicos cuando sea necesario y se contrastarán los resultados estudiados en este curso con los análogos a dimensión real 1. Los temas indicados con * son opcionales, se abordarán sólo si hay tiempo e interés.



1. Sistemas Dinámicos Discretos en ℝn. (Unidad Agosto-Septiembre)

Saddle Henon Map Hopf

  1. Transformaciones lineales. Dinámica de transformaciones lineales en ℝn. Puntos silla. Subespacios Estables e Inestables. Teoremas de Hiperbolicidad.
  2. Transformaciones no lineales. La matriz Jacobiana e hiperbolicidad. Transformaciones de Hénon.
  3. Bifurcaciones. Ejemplos con bifurcaciones tangente y de duplicación del periodo. Bifurcación de Hopf.


2. Sistemas Dinámicos Discretos en variedades de dimensión mayor a 1. (Unidad Septiembre-Octubre.)

HTA Solenoid W

  1. La Herradura de Smale. Definición dinámica-geométrica de la herradura. Dinámica simbólica en la herradura.
  2. Dinámica en el Toro. Automorfismos Torales Hiperbólicos (Anosov). Subespacios Estables e Instables. Particiones de Markov.
  3. Atractores. Región de Captura. El Solenoide. Límites Inversos.
  4. Variedades Estables e Inestables. Teorema de las Variedades Estable e Inestable. Ejemplos en el plano 2D, la esfera, el toro y el espacio 3D. Conjuntos Hiperbólicos*. Estabilidad Estructural*.


3. Dinámica Holomorfa general. (Unidad Octubre-Noviembre.)

Mobius Siegel JuliaFatou

  1. Funciones Holomorfas. Transformaciones de Möbius. Puntos críticos, valores críticos, polos y singularidades.
  2. Dinámica Local en Puntos Periódicos. Teoremas de Linealización. Teorema de la Flor (de Leau-Fatou). Clasificación de puntos periódicos: Atractores, Repulsores, Racional e Irracionalmente Indiferentes.
  3. Conjuntos de Julia y Fatou. Familias Normales. Teorema de Montel. Puntos Excepcionales. Propiedades y ejemplos de Conjuntos de Julia y Fatou. Componentes Periódicas de Fatou.


4. Funciones Racionales en la Esfera de Riemann. (Unidad Noviembre-Diciembre.)

RatJulia Mandelbrot Mandelbrot Feigenbaum

  1. Funciones Racionales. Caracterizaciones y propiedades de los conjuntos de Julia y Fatou. Caos y regularidad.
  2. Teoremas de Conteo. Conteo de puntos críticos. Conteo de órbitas periódicas no repulsoras. Conteo de componentes de Fatou*.
  3. La Familia Cuadrática Compleja. El conjunto de Mandelbrot. Bulbos y periodicidad. Conjetura de la densidad de hiperbolicidad*.


Prerrequisitos

Obligatorio: Haber cursado Sistemas Dinámicos Discretos I.

Deseables (no obligatorio): Haber aprobado Sistemas Dinámicos Discretos I. Haber cursado Topología I, Geometría Riemanniana I (y/ó Topología Diferencial) y Variable Compleja I.



Evaluación

  • 80%. Cinco o seis tareas-examen.

    Se permiten reposiciones, en modo examen presencial. Para derecho a exámenes de reposición haber entregado al menos 3 tareas-examen. Para derecho a examen final, haber entregado al menos 2 tareas-examen.

  • 20%. Una exposición con duración de 30 minutos, a realizarse al final del semestre.

    Temas propuestos para exposición: el atractor de Plykin, el atractor de Hénon, el atractor de Lorenz, exponentes de Lyapunov en espacios vectoriales, sistemas de funciones iteradas, ejemplos interesantes de conjuntos de Julia, la familia cuadrática perturbada anti-holomorfa, el tricornio, cálculo de la dimensión fractal de conjuntos de Julia, las fórmulas mágicas de Douady, grupos Kleinianos, transformaciones conformes por partes, entre otros.



Bibliografía

  • Principal.
    • Devaney, Robert L. An Introduction to Chaotic Dynamical Systems. 1989.
    • Carleson, L. & Gamelin, T.W. Complex Dynamics. 1993.
  • Complementaria.
    • Alligood, K., Sauer, T.D. & Yorke, J. CHAOS, an Introduction to Dynamical Systems. 1996.
    • Beardon, Alan F. Iteration of Rational Functions - Complex Analytic Dynamical Systems. 1990.
    • Brin, Michael & Stuck, Garrett. Introduction to Dynamical Systems. 2004.
    • Devaney, Robert L. A First Course in Chaotic Dynamical Systems - Theory & Experiments. 1992.
    • King, Jefferson E. & Méndez, Héctor. Sistemas Dinámicos Discretos. 2014.
    • Milnor, John. Dynamics in One Complex Variable.1999.
    • Robinson, R. Clark. Dynamical Systems: Stability, Symbolic Dynamics, and Chaos. 1995.

 


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