Matemáticas (plan 1983) 2024-2

Optativas de los Niveles I, II, III y IV, Teoría de los Números I

Teoría de los Números 1. Grupo 4335.

Sean bienvenidas y bienvenidos al curso de Teoría de los Números 1. Veremos en este curso una de las teorías más hermosas e inagotables que se inició desde los antiguos griegos con Euclides en sus Elementos hasta la actualidad. Le sacaremos partido al conjunto de los números enteros.

En otras áreas de las matemáticas, los números enteros, en su mayor parte, aparecen y sirven únicamente para contar y facilitar los cálculos matemáticos, así por ejemplo, es más cómodo trabajar en Álgebra Lineal con matrices y determinantes con entradas enteras, o en Geometría Analítica y Cálculo las operaciones se facilitan al considerar las ecuaciones de los lugares geométricos con coeficientes enteros o racionales que con números irracionales y decimales engorrosos. En Probabilidad los números enteros son útiles para encontrar permutaciones y combinaciones y así poder calcular la cantidad de elementos que tienen ciertos eventos.

Este curso lo dedicaremos casi exclusivamente a los números enteros y deduciremos sus propiedades que van mucho más allá del objetivo de contar o facilitar operaciones matemáticas. Las propiedades de los números enteros que deduciremos son las más hermosas, elegantes e inimaginables para el público en general, problemas fáciles de plantear y no tan fáciles de solucionar, problemas que alguien que no se dedique a las matemáticas puede comprender al parecer demasiado inocentes y elementales pero cuya solución requiere, muchas veces, de la perspicacia y perseverancia matemática.

Nos vamos a divertir en serio en esta materia.

Les reiteramos la cordial bienvenida.

Profesores:

1. Mat. Edgar Maximiliano Garma Euhan.
2. M. en C. Fidencio Galicia Rodríguez.

Temario del curso:

1. Divisibilidad.

1. Divisores y múltiplos.
2. Algoritmo de la división.
3. Máximo Común Divisor y Mínimo Común Múltiplo. Algoritmo de Euclides.
4. Números primos y Teorema Fundamental de la Aritmética.
5. Ecuación diofántica lineal.
6. Números de Fibonacci.
7. Números de Mersenne.
8. Números perfectos.
9. Números de Fermat.
10. Algunas funciones importantes de la Teoría de los Números.

2. Congruencias.

1. Definición de congruencia. Relación de equivalencia asociada a una congruencia.
2. Propiedades y operaciones básicas con congruencias.
3. Sistema completo de restos.
4. Sistema reducido de restos.
5. Función contadora de primos relativos de Euler.
6. Teorema de Euler.
7. Teorema Chico de Fermat.
8. Teorema de Wilson.
9. Solución de congruencias lineales. Teorema Chino del Resto.
10. Otras propiedades de la función contadora de Euler.
11. Algunas congruencias polinomiales.

3. Reciprocidad Cuadrática.

1. Definición de restos cuadráticos y la congruencia cuadrática, con modulo primo impar.
2. Símbolo de Legendre y sus propiedades.
3. Lema de Gauss y la Ley de la Reciprocidad Cuadrática.
4. Símbolo de Jacobi.
5. Reciprocidad cuadrática para el símbolo de Jacobi.

4. Raíces Primitivas e índices.

1. Orden de un entero módulo otro entero.
2. Raíces primitivas módulo potencias de un primo impar.
3. Índices módulo potencias de un primo impar.
4. Índices módulo potencias de 2.
5. Índices cualquier módulo compuesto.

5. Último Teorema de Fermat.

1. Ternas pitagóricas.
2. Cuadrado como suma de dos cuartas potencias. Método del descenso infinito de Fermat.
3. Último Teorema de Fermat para exponente 4 y múltiplos de 4.
4. Otras ecuaciones diofánticas.

Bibliografía:

1. Niven, Zuckerman, Montgomery. Introducción a la Teoría de Los Números. Limusa.
2. Pérez Seguí, Ma . Luisa. Teoría de Números. Cuadernos de Olimpiadas de Matemáticas. UNAM.
3. LeVequé, William. Elementary Theory of Numbers. Dover.
4. Zaldívar, Felipe. Introducción a la Teoría de los Números. Fondo de Cultura Económica.
5. Apostol, Tom. Teoría Analítica de Números. Reverté.
6. McCoy, Neal. The Theory of Numbers.

Evaluación:

1. Exámenes y tareas (las ponderaciones se discutirán el primer día de clase)

Requisitos para cursar la materia:

1. Es suficiente con haber cursado las cuatro materias de primer semestre de la carrera de matemáticas. Se usarán todas ellas. Particularmente, necesitamos del concepto de inducción matemática, el de número real, desigualdades, relaciones y clases de equivalencia y cierta familiaridad con los métodos de demostración de Euclides en geometría.