Matemáticas (plan 1983) 2024-2

Optativas de los Niveles V y VI, Geometría Diferencial I

Introducción

La geometría diferencial estudia las propiedades de curvas y superficies, así como sus generalizaciones de dimensiones superiores, con ayuda de herramientas del cálculo y del álgebra lineal. Los tipos de preguntas que uno se suele plantear en geometría diferencial se extienden mucho más allá de lo que uno se puede plantear en geometría clásica y, sin embargo, las primeras no subsumen por completo a las segundas. Las cuestiones de geometría diferencial a menudo se dividen en dos categorías: (a) propiedades locales, por las que se entienden propiedades de una curva o de una superficie definida en las proximidades de un punto, o (b) propiedades globales, que se refieren a propiedades de la curva o de la superficie tomada en su totalidad. Algunos de los teoremas más interesantes de la geometría diferencial relacionan las propiedades locales con las globales, v. gr. el Teorema de Gauss-Bonnet, que relaciona las propiedades globales de curvas y superficies con la topología de una superficie y conduce a resultados fundamentales en geometría esférica e hiperbólica.

Son bienvenidos todos los estudiantes que quieran profundizar en los temas de curvas y superficies.

Forma de trabajo

1. Tres clases por semana con el profesor para ver teoría y dos clases con el ayudante para hacer ejercicios y reforzar la teoría.

2. Habrá un classroom donde subiremos las tareas, los examenes, los libros de consulta y los avisos generales del curso. El código de nuestro classroom es este: ysgqnur

3. Todas las actividades con el ayudante (ejercicios, tareas, etc.) contarán por un punto o la parte proporcional extra a la calificación final.

Evaluación

• Tareas-examen individuales o en equipo. En cada caso daremos tiempo suficiente para que se puedan resolver con cuidado (~1 semana). Haremos 4 o 5 de estas evaluaciones parciales, dependiendo de los temas que alcancemos a estudiar.
• Hay reposiciones, pero serán exámenes durante la hora y en el salón de la clase. Haremos 2 o 3 reposiciones, dependiendo del número de evaluaciones parciales (respectivamente).
• Sí hay examen final y se hará de acuerdo a las fechas que establezcan las autoridades de la Facultad.
• La calificación final será la suma de los promedios aritméticos de las evaluaciones parciales y de las actividades con el ayudante.

Temario

Seguiremos el temario oficial del curso, que podemos reagrupar de la siguiente manera:

1. Curvas planas en R^2
2. Curvas espaciales en R^3 y curvas en R^n
3. Superficies regulares
4. Primera Forma Fundamental y Segunda Forma Fundamental
5. Las ecuaciones fundamentales de las superficies
6. Geodésicas
7. Teorema de Gauss-Bonnet o geometría intrínseca

​Bibliografía

1. T. F. Banchoff, S. Lovett, Differential Geometry of Curves and Surfaces, 3ra ed., CRC Press, 2023.
2. B. O'Neill, Elementary Differential Geometry, 2da ed. rev., Academic Press, 2006.
3. M. P. do Carmo, Differential Geometry of Curves and Surfaces, 2da ed. rev., Dover Publications, Inc., 2016.
4. D. J. Struik, Lectures on Classical Differential Geometry, 2da ed., Dover Publications, Inc., 1961.
5. M. Abate, F. Tovena, Curves and Surfaces, Springer, 2012.
6. C. Tapp, Differential Geometry of Curves and Surfaces, Springer, 2016.
7. A. Pressley, Elementary Differential Geometry, Springer, 2010.