Matemáticas Aplicadas (plan 2017) 2024-2

Séptimo Semestre, Proyecto I

Ondas de superficie en el agua


El curso introduce el tema de ondas de superficie en el agua atraves de un estudio guiado de algunos artículos sobre ecuaciones de ondas largas tipo
Whitham, y Whitham-Boussinesq. Estas son ecuaciones diferenciales parciales simplificadas que se derivan de las ecuaciones de la mecanica de fluidos, y que han sido utiles en la modelacion de experiementos en tanques de agua y obeservaciones de campo. Una de las motivaciones ha sido entender los tsunamis, y otros procesos en las costas.

La meta del proyecto es leer y entender algunos articulos recientes sobre el
tema, plantear y empezar a trabajar en un proyecto

Se introduciran temas relevantes de las ecuaciones diferenciales ordinarias y parciales, mecanica de fluidos, y computo numerico. El curso es tambien una introduccion a metodos numericos para el estudio de fenomenos de ondas nolineales. El proyecto se puede enfocar tambien a algunos problemas de la solucion numerica de EDP elipticas que aparecen en el estudio del flujo potencial.

Los alumnos pueden escoger varios enfoques, e.g. matemático, computacional, o físico.

Se discutira tambien la derivación y estudio numerico y analitico
de modelos de ondas de agua en dominios con profundidad variable y geometría de playas.


Temas

1. Ecuaciones básicas de la mecánica de fluidos: Euler, Navier-Stokes, flujo potencial, problemas con superficie libre, ref. 1, 2

2. Ecuaciones linealizadas: problemas con fondo plano, operador Dirichlet-Neumann, dispersion, multiplicadores de Fourier y operadores seudodiferenciales ref. 3, 4,

3. Ecuaciones de onda somera: Whitham, Whitham-Boussinesq, modelos
para dominios de profundidad variable, y
solucion numerica con metodos espectrales y seudo-espectrales, ref. 5, 6, 7.

Bibliografia:

1. L. Landau, E. Lifschitz: Fluid Mechanics, 2nd. Ed., Elesevier (1987)

2. J.E. Marsden, A. Chorin: A mathematical introduction to fluid mechanics, Springer,
New York (1993)

3. W. Craig, C. Sulem,
Numerical simulation of gravity waves,
J. Comp. Phys. 108, 73-83 (1993)

4. J. Wilkening, V. Vasan,
Comparison of five methods to compute the Dirichlet-Neumann operator for the water wave problem,
Contemp. Math. 635, 175-210 (2015)

5. L.N. Trefethen, Spectral methods in Matlab, SIAM, Philadelhia (2000)

6. V. Vasan, Manisha, D. Auroux,
Ocean-depth measurement using shallow-waterwave models
Stud. Appl. Math. 147, 1481-1517 (2021)

7. J.D. Carter, E. Dinvay, H. Kalish,
Fully dispersive Boussinesq models with uneven bathymetry,
J. Engineering Math. 127, 10, https://doi.org/10.1007/s10665-021-10099-2 (2021)

Evaluacion:

20% Tareas (3 tareas sobre material basico)

30% Reporte parcial (entrega 5 de Abril)

En el reporte parcial se presenta un resumen de la teoria basica que se discute en clase y en las tareas hasta medioados de Marzo. Seria un borrador de la introduccion del proyecto final.

50% Reporte final (entrega 17 de Mayo)

El reporte final incluyue una introduccion sobre la teoria basica de los modelos de flujo potencial, y ademas plantea un tema mas especifico relacionado a un artuculo reciente, y presenta algunos resutlados intermedios y/o preliminares relacionados. La eleccion del tema y se se hara durante los meses de Marzo y Abril.

Plan de material que se presentara en la clase:

semanas 1-3
Ecuaciones de Euler, ecuaciones de flujo potencial con superficie libre, operador Dirichlet-Neumann, Formulacion CSZ (Tarea 1)

semanas 4-6
Approximacion del operador Dirichlet-Neuman, operadores seudodiferenciales y
modelos de ondas largas:
ec. St. Venant, KdV, Boussinesq,
Whitham, Whitham-Boussinesq (Tarea 2)

semanas 7-10
Dispersion, representacion espectral,
discretizacion espacial, solucion numerica del problema de
valor inicial: (Tarea 3)

semanas 11-16
Estructura Hamiltoniana,
Metodos seudoespectrales,
Canales de profundidad variable