Matemáticas (plan 1983) 2024-2

Optativas de los Niveles VII y VIII, Variable Compleja II

PRESENTACIÓN.

Nuestros cursos de variable compleja se caracterizan por destacar los aspectos geométricos de la teoría de las funciones complejas, sin descuidar, por supuesto, los aspectos analíticos y sus demostraciones: buscamos siempre mostrar la interpretación geométrica de los resultados, así como la relación de ellos con varias áreas de la Geometría, como son la Hiperbólica o la Proyectiva.

También buscamos introducir brevemente algunos aspectos históricos de esta teoría y de sus aplicaciones. Y en todo momento señalaremos la comparación entre los resultados sobre las funciones complejas y los correspondientes resultados sobre las funciones reales.

Hemos escrito notas sobre los cursos de Variable 1 y 2. Se podrán ir consultando durante el curso.

Nuestro enfoque se basa en el libro de Ahlfors “Análisis Complejo”, aunque actualizándolo en varios aspectos. También usamos el libro de Remmert “Theory of Complex Functions” como referencia.

Iniciaremos el curso recordando entre todos las propiedades principales de los números complejos y de las funciones complejas que se ven usualmente en los cursos de Variable Compleja I con el objetivo de unificar los puntos de vista de los alumnos que la hayan visto con diferentes profesores.

El curso en sí se comenzará por exponer la demostración del Teorema de Cauchy y de la fórmula de Cauchy. El resto del curso se dedicará a exponer, interpretar y demostrar los resultados más importantes sobre las propiedades locales de las funciones holomorfas, que son todas consecuencias de la fórmula de Cauchy.

Resultados como: El Principio del Argumento, Teorema de la función abierta, Teorema de la función inversa, Forma local, Teorema de Hurwitz, Principio del máximo y Lema de Schwarz son básicos para la demostración del importantísimo teorema de uniformización de Riemann (o Teorema del mapeo de Riemann). Si hay tiempo daremos su demostración o, al menos, daremos una visión condensada del significado del teorema, de su demostración y de cómo se utilizan los resultados vistos en el curso.

Para la evaluación habrá tareas a lo largo del semestre (50%). El día de la entrega de la tarea se hará un breve examen sobre los problemas de la misma. (50%)

Todo lo anterior estará matizado por el número de alumnos que participen y por las necesidades y sugerencias del grupo.

Nos vemos el lunes 29 de enero en el salón de clases para discutir nuestro enfoque y conocer sus puntos de vista.