Matemáticas (plan 1983) 2024-2

Optativas de los Niveles V y VI, Sistemas Dinámicos Discretos I

Importante

• Presentación del curso: Presencial Lunes 29 y Martes 30 de Enero a las 15:00 hrs en el salón 201 (Nuevo Edificio), con transmisión en vivo por Zoom: https://cuaieed-unam.zoom.us/j/82229162389.
• Inicio de clases del curso: Miércoles 31 de Enero.
• Inicio de ayudantías del curso: Jueves 8 de Febrero.
• Modalidad del curso: Presencial en el salón de clase con transmisión en vivo por Zoom, usando un pizarrón virtual y proyector.

Temario

En este curso se introduce al estudio de los Sistemas Dinámicos Discretos en espacios de dimensión real 1 (es decir, en subconjuntos de ℝ o el círculo) y en espacios métricos generales (área llamada dinámica topológica). Asimismo, se introduce al estudio de las llamadas Teoría del Caos y Teoría de Bifurcaciones. Los temas indicados con * son opcionales, se abordarán sólo si hay tiempo e interés.

1. Conceptos básicos de dinámica topológica y dinámica en ℝ. (Unidad Agosto-Septiembre.)

1. Introducción. Modelos de poblaciones. Métodos numéricos iterativos. Sistemas Dinámicos y Sistemas Dinámicos Discretos.
2. Conceptos básicos. Iteradas e Iteraciones. Órbitas. Puntos Fijos, Periódicos y Pre-Periódicos.
3. Hiperbolicidad. Puntos Atractores y Repulsores. Puntos Neutros. Teoremas de Hiperbolicidad.
4. Herramientas visuales. Retrato Fase. Análisis Gráfico de Órbitas.
5. Teorema de Sharkovsky. Teorema de Li-Yorke. Teorema y Orden de Sharkovsky. La Duplicadora.

2. Caos, Estabilidad y Conjugación Topológica. (Unidad Septiembre-Octubre.)

1. Estabilidad. Órbitas asintóticamente periódicas. El ω-conjunto límite*. Estabilidad de Lyapunov.
2. Caos. Sensibilidad a las Condiciones Iniciales. Transitividad Topológica. Órbitas densas. Teorema de Jacobi. Definición de Caos de Devaney.
3. Conjugación Topológica. Propiedades dinámicas que se conservan bajo conjugación. Equivalencia de sistemas.
4. Medidas de Estabilidad y Caos*. Exponentes de Lyapunov*. Entropía Topológica*.

3. Dinámica Simbólica. (Unidad Octubre-Noviembre.)

1. Sucesiones de Símbolos. El Espacio de Sucesiones de N Símbolos. La función Corrimiento.
2. Itinerarios. El Conjunto de Puntos Atrapados. El Conjunto de Cantor. Conjugación con la función corrimiento.
3. Subcorrimientos de Tipo Finito. Matriz de Transición. Teorema de conteo de puntos periódicos.
4. La Sumadora de Misiurewicz*. Itinerario para la sumadora*.

4. Bifurcaciones y Estabilidad Estructural. (Unidad Noviembre-Diciembre.)

1. Bifurcaciones en Familias de Funciones. Diagramas de Bifurcación y de Órbitas. Bifurcación Tangente. Bifurcación de Duplicación del Periodo. Teoremas de existencia de bifurcaciones. Otras bifurcaciones.
2. La Familia Logística. Análisis de Bifurcaciones. Cascadas de Bifurcaciones. Zona Caótica. Ventanas del Diagrama. Ejemplo de Renormalización*.
3. Estabilidad Estructural. Distancias en espacios de funciones. Ejemplos de existencia e inexistencia de Estabilidad Estructural.
4. Difeomorfismos en el Círculo*. Homeomorfismos y Levantamientos*. El Número de Rotación*. Difeomorfismos de Morse-Smale*. El Lema de Cierre*.

Prerrequisitos

Obligatorio: Cálculo I, Geometría Analítica I.

Deseable, no obligatorio: Topología I.

Evaluación

Modo presencial.

• 40%. Cinco o seis tareas.
• 50%. Cuatro exámenes, uno por mes. Se permiten reposiciones de todos los exámenes.
  

  Para derecho a exámenes de reposición y examen final, haber presentado al menos 2 exámenes y haber entregado al menos 2 tareas.

• 10%. Una exposición con duración de 30 minutos, a realizarse al final del semestre.
  

  Temas propuestos para exposición: Teoremas sobre la definición de Caos de Devaney, Resultados de Entropía Topológica, El Atractor de Sistemas de Funciones Iteradas, La Constante de Feigenbaum, La Derivada Schwarziana, Dinámica en Hiperespacios, Las Lenguas de Arnol'd, Secuencias Sturmianas, y muchos otros.

Bibliografía

• Principal.
  • King, Jefferson E. & Méndez, Héctor. Sistemas Dinámicos Discretos. 2014.
  • Devaney, Robert L. An Introduction to Chaotic Dynamical Systems. 1989.
• Complementaria.
  • Alligood, K., Sauer, T.D. & Yorke, J. CHAOS, an Introduction to Dynamical Systems. 1996.
  • Brin, Michael & Stuck, Garrett. Introduction to Dynamical Systems. 2004.
  • Devaney, Robert L. A First Course in Chaotic Dynamical Systems - Theory & Experiments. 1992.
  • Robinson, R. Clark. Dynamical Systems: Stability, Symbolic Dynamics, and Chaos. 1995.