Matemáticas (plan 1983) 2024-2

Optativas de los Niveles VII y VIII, Seminario de Topología B

Introducción a la topología

de dimensión infinita.

Temario.

1. Preliminares.

1.1 Nociones básicas sobre teoría de retractos

1.2 El Teorema de extensión de Dugundji

1.3 Poliedros y complejos simpliciales

1.4 El Teorema de Brouwer del punto fijo y sus aplicaciones

1.5 Propiedades de los cubos de dimensión finita vs sus equivalentes en dimensión infinita

2. El cubo de Hilbert

2.1 Propiedades básicas del cubo de Hilbert

2.2 El Teorema del punto fijo de Schauder

2.3 El grupo de homeomorfismos del cubo de Hilbert

2.4 La homogeneidad del cubo de Hilbert

2.5 Q-variedades y otras variedades de dimensión infinita

2.6 Breve Introducción al Teorema de Keller y la clasificación de los conjuntos convexos.

3. Espacios Universales

3.1 Espacios C(K)

3.2 El teorema de Banach-Mazur.

3.3 La universalidad de C(K).

3.4 Algunos subespacios interesantes de C(K).

3.5 El espacio universal de Urysohn: construcción y propiedades básicas

4. Grupos topológicos universales.

4.1 Breve introducción a los grupos topológicos.

4.2 El grupo de isometrías del espacio de Urysohn.

4.3 El grupo de automorfismos del cubo de Hilbert.

5. Opcional: Otros espacios de dimensión infinita

5.1 Hiperespacios de subconjuntos cerrados.

5.2 El compacto de Banach-Mazur

5.3 El hiperespacio de Gromov-Hausdorff

5.4 Distintas nociones de dimensión infinita

Dinámica y forma de calificar

El objetivo del seminario es dar una introducción a algunos de los tópicos que se estudian en topología de dimensión infinita. El temario propuesto es algo extenso, pero lo adaptaremos de acuerdo al interés del grupo.

Calificaremos el curso con tareas, participación en clase (por lo cual es importante asistir) y, dependiendo de la cardinalidad del grupo, exposiciones.

IMPORTANTE: En caso de paro, las clases continuarán por zoom. Si te inscribes aceptas que estás de acuerdo con esto.

Bibliografía.

1. Y. Benyamini and J. Lindenstrauss, Geometric Nonlineal Functional Analysis, vol. 1, Amer. Math. Soc., Rhode Island, 2000.

2. C. Bessaga and A. Pelczynski, Selected Topics in Infinite-Dimensional Topology, Polish Scientific Publishers, Warzawa, 1975.

3. K. Borsuk, Theory of Retracts, Polska Akademia Nauk, Monografie Matematyczne, Vol 44, Warsawa, 1967.

4. M. Fabian, P. Habala, P. Hájek, V. Montesinos and V. Zizler, Banach Space Theory, The Basis for Linear and Nonlinear Analysis, Springer, New York, 2011.

5. S. Hu Theory of Retracts,Wayne State University Press, Detroit, 1965.

6. J. Melleray, Some geometric and dynamical properties of the Urysohn space, Topology and its Applications 155, no 14 (2008), 1531-1560.

7. J. Melleray, Topology of the Isometry group of the Urysohn space, Fund. Math., 207, no 3 (2010), 273-287.

8. J. van Mill, Infinite-Dimensional Topology: Prerequisites and Introduction, North-Holland Math. Library 43, Amsterdam 1989.

9. V. Uspenskij, On the group of isometries of the Urysohn universal metric space, Comment. Math. Univ. Carolinae, 31, no. 1 (1990), 181–182.