Matemáticas (plan 1983) 2024-2

Optativas de los Niveles VII y VIII, Seminario de Topología A

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Este curso tiene dos objetivos principales.

• Introducir al alumn@ a temas de estudio actuales en la Teoria de conjuntos.
• Presentar tecnicas modernas asociadas a la Teoria de conjuntos que tienen aplicaciones a diversas ramas de las matematicas.

A continuacion describimos el Temario tentativo. Dicho temario no es el definitivo, y cambiara de acuerdo a los intereses y conocimiento de l@s alumn@s.

1-Una introduccion a la Teoria de Ramsey Infinita. En el caso numerable y no numerable.

1.1-El Teorema de Ramsey.

1.2-Filtros y Ultrafiltros.

1.3-Semigrupos y el Teorema del semigrupo de Ellis.

1.4-El Teorema de Hindman y el Teorema de Gowers.

1.5- El Teorema de Halpern-Lauchli y el Teorema de Hales-Jewett.

1.6-Submodelos elementales.

1.7-El Teorema de Erdos-Dusnik-Miller y el fallo del Teorema de Ramsey en el contexto no numerable.

1.8-El filtro de los club y coloraciones arcoiris.

1.9-Compacidad. Demostrar teoremas tipo Ramsey finitos utilizando teoria de Ramsey infinita.

1.10-El Teorema de Ellentuck.

2-Axiomas adicionales a ZFC.

2.1-El Teorema de la Categor'ia de Baire.

2.2- Nociones de forcing y el Lema de Rasiowa-Sikorski.

2.3-Axiomas de Forcing (MA, MA_ctlbe, MA_sigma(centered).

2.4-El principio Diamante.

2.5-El Axioma de la coloracion abierta.

2.6-La Hipotesis del Continuo y cardinales invariantes del continuo.

3-El metodo de forcing.

3-1. Extendiendo modelos de la Teoria de conjuntos.

32. Filtros genericos y el universo V[G].

3.3. P-nombres y sus interpretaciones.

3.4-La relacion de forcing.

3.5- Los pilares del metodo de forcing. El lema de la verdad y el lema de la definibilidad.

3.6-Forcing ccc y sigma centrados.

3.7-Preservacion de cardinales.

3.8-La independencia de la hipotesis del continuo.

3.9-La independencia del principio Diamante.

3.10-Evaluando cardinales invariantes en extensiones de forcing.

4-Un panorama general de la Teoria de conjuntos actual, y su relacion con las demas ramas de las matematicas.

5-Esquemas de construccion.

El curso esta orientado principalmente a alumn@s que hayan cursado al menos los dos primeros cursos de Teoria de conjuntos, y Topologia I. De manera especifica, se espera un buen domino sobre el manejo de ordinales y cardinales, al igual que famiiliaridad con el concepto de compacidad, axiomas de separacion, funciones continuas y bases para topologias. No es necesario, pero si deseable haber cursado Algebra Moderna I, Analisis I, Analisis II, y Logica II. Esto con el objetivo de poder presentar aplicaciones mas variadas a distintos Teoremas que veamos.

El temario presentado es ambicioso, y sin duda alguna, retador. La unica manera de familiarizarse con el, sera estudiando y resolviendo problemas de manera constante. Por esa razon, la mayor parte de la evaluacion estar'a basada en tareas semanales y ejercicios hechos en clase. Los detalles concretos sobre la evaluacion se podran discutir a lo largo de todo el semestre.

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