Matemáticas (plan 1983) 2024-2

Optativas de los Niveles VII y VIII, Seminario de Geometría A

Tema: Singularidades y estabilidad de funciones diferenciables

Los objetos principales del curso serán las funciones diferenciables que están definidas entre espacios Euclidianos. Induciremos una equivalencia entre estas funciones considerando difeomorfismos, tanto de sus dominios como de sus codominios. Esto nos permitirá dar una clasificación de sus singularidades. Este estudio comenzó con los trabajos de Morse (1925) y Whitney (1936). Mediante el teorema de Sard, probaremos la densidad de funciones que presentan singularidades genéricas. Gran parte de estos resultados están inspirados en los trabajos de René Thom (Teorema de transversalidad, 1956). Posteriormente, entre 1968 y 1970, J. Mather hace varias aportaciones a la teoría de estabilidad de funciones diferenciables. El temario está enfocado en las funciones diferenciables definidas entre espacios Euclidianos de dimensiones bajas, y comprende, tanto el estudio global de éstas, como el estudio local en vecindades de sus singularidades.

Dinámica del curso. Las clases serán de lunes a viernes. Lunes, miércoles y viernes serán para estudiar la teoría del curso, y en los otros dos días se realizarán ejercicios que ayuden a reafirmar la teoría.

Evaluación. Cada dos semanas se dejará una tarea-examen. La calificación final será el promedio de éstas. No habrá reposiciones. Podrán presentar (una única vez) el examen final quienes hayan entregado más del 80% de las tareas-examen. La calificación obtenida en el examen final sustituirá la calificación-promedio de las tareas-examen.

Programa.

I. Singularidades de funciones real valuadas definidas en R.

● Equivalencia de funciones

● Funciones de orden finito y planas

● Funciones de Morse

II. Singularidades de funciones de R^2 en R.

● Equivalencia y clasificación de funciones de clase C^∞

● Funciones de Morse

III. Singularidades de funciones de R en R^2.

● Equivalencia y clasificación de funciones de clase C^∞

IV. Singularidades de funciones de R^2 en R^4.

● Equivalencia y clasificación de funciones de clase C^∞

V. Singularidades de funciones de R^2 en R^3.

● Equivalencia y clasificación de funciones de clase C^∞

VI. Singularidades de funciones de R^2 en R^2.

● Equivalencia y clasificación de funciones de clase C^∞

● El doblez y la cúspide

Bibliografía:

● Aportaciones Matemáticas, serie: Comunicaciones. No. 15, 355-564 (R. Bulajich & S. López de Medrano,)

Bibliografía complementaria:

● M. Golubitsky & V. Guillemin, Stable mappings and their singularities.

● V. I. Arnold, Singularities of differentiable maps. Vol I.

● C.T.C. Wall, Differential topology.