Matemáticas (plan 1983) 2024-2

Optativas de los Niveles VII y VIII, Seminario de Análisis Matemático A

Análisis No Lineal

El objetivo de este curso es desarrollar los conceptos del análisis no lineal (integración y diferenciación) en espacios de dimensión infinita. Esto permitirá desarrollar otras teorías basadas en el análisis no lineal y explorar algunas de sus aplicaciones. Primero se construirán las integrales de Bochner y Pettis y se estudiará su relación con el espectro y los conjuntos convexos. Después se desarrollarán las derivadas de Frechet y Gateaux, se demostrarán los teoremas de la función inversa e implícita para funciones entre espacios de Banach, se estudiará su relación con la teoría de integración antes desarrollada y se estudiarán ecuaciones diferenciales en dimensión infinita. Estos conceptos permitirán explorar otras teorías importantes y sus aplicaciones, como optimización y C0-semigrupos de operadores. La elección de estos temas será basada en las preferencias de los alumnos.

Prerrequisitos

Este curso es la continuación del curso de Análisis Matemático III impartido en el semestre 2024-1, por lo que se espera que los alumnos cuenten con los conocimientos de los cursos previos de Análisis Matemático. Al principio del curso se dará un repaso de los conceptos fundamentales para asegurarnos que los alumnos cuenten con las bases necesarias.

Temario

El temario propuesto es el siguiente:

1. - Preliminares: Teoría de la Medida, Espacios de Banach, Espacios de Hilbert, Espacios Vectoriales Topológicos y Topología Débil.

2. - Integración en Espacios de Dimensión Infinita: Integrales de Bochner, Pettis y Dunford y Aplicaciones.

3. - Diferenciación en Espacios de Dimensión Infinita: Derivadas de Frechet y Gateaux. Teoremas de la Función Inversa e Implícita. Ecuaciones Diferenciales en Dimensión Infinita.

4. - Optimización*: Cálculo de Variaciones y Transporte Óptimo. Dualidad y Principio del Máximo.

5. - Semigrupos de Operadores*.

6. - Espacios Localmente convexos*: Distribuciones y Análisis de Fourier.

Los puntos marcados con * se impartirán de acuerdo al interés de los alumnos y se les dedicará tiempo acorde al mismo.

Evaluación

La evaluación de los primeros tres puntos será por medio de dos tareas-examen, una de integración y una de diferenciación. La evaluación de los demás temas será por medio de una exposición y un trabajo escrito que cubra los temas expuestos.

El siguiente enlace muestra algunos de los temas que los alumnos deberán escoger para desarrollar su proyecto:

https://drive.google.com/file/d/1_e8EJI1ak6zGwUfhzX3cuckla4o_3uIW/view?usp=sharing

Grupos y Contacto

Cualquier duda o comentario pueden contactarnos a nuestros correos: luisacp@ciencias.unam.mx y hugoreyna46@ciencias.unam.mx

También trabajaremos utilizando un grupo de Google Classroom y un grupo de Telegram

Código de Classroom: 2t7l77s

Enlace de Telegram: t.me/+8cTwW6-fcq4wOTVh

Bibliografía

Algunos libros recomendados son los siguientes:

- Walter Rudin, Functional Analysis. McGrawhill, 1991.

- John B. Conway, A Course in Functional Analysis. Springer, 1990.

-Joseph Diestel, Vector Measures. American Mathematical Society, 1977.

- Francis Clarke, Functional Analysis, Calculus of Variations and Optimal Control. Springer, 2013.

- Klaus-Jochen Engel, One-Parameter Semigroups for Linear Evolution Equations. Springer, 1991.

- Eberhard Zeidler, Applied Functional Analysis. Main Principles and Their Applications. Springer, 1995.