Matemáticas (plan 1983) 2024-2

Optativas de los Niveles VII y VIII, Seminario de Álgebra B

Presentación

Escuetamente enunciado, la teoría de las estructuras matemáticas pone especial atención en los conjuntos que han sido provistos de algún tipo de estructura y del modo en que éstos, los conjuntos estructurados, se relacionan entre sí a través de ciertas funciones que se distinguen por preservar tal estructura. El sentido de la noción de estructura matemática es el de otorgar a un conjunto dado ciertas propiedades:

• Una estructura topológica
• Una estructura anular.
• Una estructura de espacio vectorial.
• Una estructura reticular, etc.

Todas estas estructuras dotan a los conjuntos de una gran variedad de cualidades, por ejemplo: en los espacios topológicos tenemos la compacidad, la conexidad, los axiomas de separación; en los grupos tenemos la ciclicidad, la normalidad, la torción; en los órdenes tenemos los preórdenes, los órdenes parciales, los órdenes reticulares.

Es de especial interés saber cómo se comportan dichas propiedades bajo las funciones distinguidas. A propósito de lo arriba dicho, podemos decir que los objetos de estudio de la teoría de las estructuras matemáticas están conformados por lo siguiente: una clase de conjuntos estructurados y una clase de funciones que preservan dicha estructura; a estos objetos les llamaremos categorías concretas de conjuntos estructurados (o por su abreviatura ccce, pronunciado como: xé y con carácter femenino, que nosotros le hemos dado a falta de otra notación que no hemos encontrado en los textos, en español).

Temario

1. Categorías Concretas de Conjuntos Estructurados

• 1.1 Ejemplos y definición
• 1.2 Isomorfismos
• 1.3 Transportabilidad
• 1.4 Fibras
• 1.5 Ejemplos específicos (operadores) en Top
• 1.5.1. Cerradura e interior
• 1.5.2. Vecindades y vecindades básicas
• 1.5.3. Puntos de acumulación
• 1.5.4. Generación de una topología: bases y subbases
• 1.6 ccce ismorfoas.

2. Categorías Concretas de Conjuntos Estructurados Propiamente Fibradas

• 2.1 ccce topológicas
• 2.2 Subespacio, inmerciones y productos topológicos
• 2.3 Topologías iniciales
• 2.4 Estructuras iniciales
• 2.5 Identificaciones, cocientes y productos
• 2.6 Estructuras finales
• 2.7 ccce propiamente fibradas

3. Algunos Tipos Elementales de ccce

• 3.1 ccce hereditarias
• 3.2 ccce que poseen intersecciones
• 3.3 ccce cohereditarias
• 3.4 ccce que poseen núcleo y que poseen imagénes
• 3.5 ccce monotopológicas

4. Conexidad en ccce

• 4.1. Categorías de conexión en Top
• 4.2.Conexidad en ccce
• 4.3.Categoría de conexión generada y su caracterización
• 4.4.Algunas categorías de conexión en Top
• 4.5. Espacios topológicos localmente A-conexos
• 4.6. Espacios totalmente A-inconexos
• 4.7 Dos ejemplos de categorías JK-cerrada en Top
• 4.8. Equivalencias de una categoría constante a la izquierda (no trivial) en Top
• 4.9. Subccce K-isp

Evaluación

La evaluación del curso básicamente consistirá en exposiciones individuales periódicas de un ejercicio (selección personal individual de una lista de ejercicios) de cada tema que vayamos desarrollando. Por otra parte estaremos abiertos a la manera tradicional de evaluación (exámenes parciales) o alguna otra forma que l@s alumn@s sugieran. El promedio final del curso será el promedio total de las actividades que les indiquemos durante el semestre.

Bibliografía

• Adamek Jirí, Theory of Mahtematical Structures, D. Reidel Publishing Company, Praga 1985.
• Salicrup Graciela B., Introducción a la Topología, Aportaciones Matemáticas, Textos I, nivel medio, Sociedad Matemática Mexicana, México 1997.

Conacto

arcero.618@ciencias.unam.mx (profesor); sumassed@ciencias.unam.mx (ayudante)