Matemáticas (plan 1983) 2024-2

¡HOLA!

Les damos la bienvenida al curso de “Seminario de Álgebra B: Teoría de Galois”.

La primera sesión será a las 9:00 de la mañana el día lunes 29 de enero del 2024 en el salón P108. En esta reunión se aclararán dudas acerca del curso.

DINÁMICA

1.- El curso será presencial.

2.-Las herramientas que usaremos para el curso será: Google Classroom, ahí les subiremos las tareas del curso. La clave del classroom es: lwmm6lg

3.- Los días de ayudantía serán los miércoles y viernes.

EVALUACIÓN

La evaluación se realizará mediante 2 o 3 tareas-examen que valdrán el 100% de la calificación y que se pueden entregar en equipo de a lo más 3 personas. No habrá reposiciones ni examen final.

ACERCA DEL CURSO

Évariste Galois presentó su ``Mémoire sur les condition de resolubilité des équations par radicaux ” (Memoria sobre las condiciones de solubilidad de las ecuaciones por radicales) a la Academia Francesa de Ciencias, un año antes de su muerte a la edad de 21 años. Esta fue la tercera versión de la investigación de Galois sobre este tema: los primeros dos manuscritos, que ya habían sido comunicados a la Academia, habían sido perdidos. Este útimo trabajo no se publicaría hasta 1846, en el Journal de Liouville.

Uno de los objetivos de este curso es explicar la demostración original dada por Galois en su memoria, de que las ecuaciones de grado mayor o igual a 5 no son solubles por radicales en general. Por lo que la primera parte de este curso tendrá un enfoque histórico y nos basaremos principalmente en los libros [10], [4], [8] (de la bibliografía de abajo). Empezaremos revisando las fómulas de Cardano-Tartaglia para resolver las cúbicas y luego la fórmula dada por Ferrari para resolver las cuárticas. Veremos el estudio que dió Lagrange a través de las resolventes. Y finalmente veremos la solución dada por Galois.

El segundo objetivo de este curso es estudiar el Teorema fundamental de la Teor ́ıa de Galois para extensiones infinitas. Para ello, veremos que el álgebra no basta y necesitaremos introducir la topología de Krull para poder dar la generalización de tal teorema.

Si el tiempo lo permite, en la tercera parte del curso estudiaremos teoría de Galois para campos finitos.

PREREQUISITOS

Los únicos prerequisitos que pediremos para este curso es la teoría básica de anillos y campos que se dán en el curso de álgebra moderna 2.

TEMARIO

I. Solubilidad por radicales

I.1 Disputas de prioridad sobre la solución de ecuaciones cúbicas

I.2 La fórmula de Cardano-Tartaglia para las cúbicas.

I.3 La fórmula de L. Ferrari para las cuárticas.

I.4 La epoca madura de la teoría de ecuaciones.

I.5 Las observaciones de Lagrange sobre los métodos conocidos de su época.

I.6 Resolventes de Lagrange.

I.7 Primeros resultados de teoría de grupos y Galois.

I.8 El grupo de Galois de una ecuación.

I.9 El grupo de Galois bajo extensiones de campos.

I.10 Solubilidad por radicales.

I.11 Aplicaciones de la solubilidad por radicales.

I.12 Descripción de Galois de los grupos de permutaciones

II Teorema fundamental de la teoría de Galois para extensiones infinitas.

II. 1 Grupos topológicos.

II.2 Grupos profinitos.

II.3 Topología de Krull en el grupo de Galois.

II.4 Teorema fundamental de la teoría de Galois para extensiones infinitas.

III. Campos finitos

III.1 La estructura de campos finitos.

III.2 Grupos de Galois.

III.3 Polinomios irreducibles sobre campos finitos.

III.4 Polinomios irreducibles de un grado dado.

III.5 Polinomios ciclotómicos módulo p.

Bibliografía

[1] D. Burton. The History of Mathematics: An Introduction. Six edition. Mc Graw Hill- Companies, 2007.

[2] David A. Cox. Galois Theory. Second edition. Pure and applied mathematics. A Wiley series of Texts, Monographs and Tracts. 2012.

[3] R. Descartes, The Geometry, translated from the French and Latin by D.E.Smith and M.L. Latham, Dover, New York, 1954

[4] Harold M. Edwards. Galois Theory. Springer-Verlag, New York-Berlin-Heidelberg.

[5] I. Kleiner. A history of abstract algebra. Birkhauser Boston-Basel-Berlin (2007)

[6] Uta C. Merzbach, Carl B. Boyer. A history of Mathematics. Third edition. Published by John Wiley and Sons, Inc., Hoboken, New Jersey.

[7] P. Morandi. Fields and Galois Theory. Springer-Verlag. 1996.

[8] Peter M. Neumann. The mathematical writings of Évariste Galois. European Mathematical Society (2011).

[9] J. J. Rotman. Galois Theory. Second edition Universitext. Springer Verlag 1998.

[10] Jean Pierre Tignol. Galoi’s Theory of Algebraic equations. World Scientific. Singapore-NewJersey-London-Hong Kong (2002).