Matemáticas (plan 1983) 2024-2

Optativas de los Niveles V y VI, Geometría Diferencial I

Geometría Diferencial I (Geometría Diferencial de Curvas y Superficies)

Profesor Jesús Núñez Zimbrón. Correo: nunez-zimbron@ciencias.unam.mx
Ayudante Andreo Chimal García. Correo: andreochimal@ciencias.unam.mx

¿De qué se trata el curso?

Si le preguntamos a cien científicos cuáles son las materias más importantes de cualquier carrera científica, lo más probable es que los cien respondan que son los Cálculos y Álgebra Lineal. Estas dos teorías son extremadamente importantes, se usan para muchísimas cosas, tanto en la ciencia como en la vida real, y es imposible sobreestimar su valor para la humanidad. La geometría diferencial es, esencialmente, la fusión más natural del cálculo y el álgebra lineal: en ella se busca aplicar la teoría de transformaciones lineales y las herramientas del cálculo para poder llegar a resultados analíticos de la geometría. En cierto sentido la geometría analítica es un caso particular de la geometría diferencial, de modo que esta es al menos tan importante y útil como aquella. Los objetos naturales de la geometría diferencial son las variedades diferenciables, que son la generalización a n dimensiones del familiar concepto de superficie; en este curso estudiaremos a las variedades de dimensión 1 (curvas) y 2 (superficies), con miras a generalizar resultados para eventualmente entender las n-variedades. Incluso estos objetos "de dimensión baja" tienen muchísimas aplicaciones a la matemática y a las ciencias (especialmente a la física), por lo cual, además de tener valor intrínseco, tienen valor aplicado. Estos objetos aparecen naturalemente en diversos contextos, desde problemas de optimización de cantidades usuales como diámetro, perímetro, etc., hasta reconocimiento de formas mediante técnicas analíticas (es decir, tener la capacidad de distinguir dos lugares geométricos a través del cálculo y el álgebra lineal), por mencionar un par.

Prerrequisitos

Es indispensable haber cursado y tener familiaridad con los cursos de Cálculo I, II, III y Álgebra Lineal I, pues se utilizan de manera constante y esencial para el desarrollo del curso. Se recomienda además haber cursado o estar cursando a la par Ecuaciones Diferenciales I, Álgebra Lineal II y Cálculo IV, pues usaremos (pocos) resultados sencillos de esas materias.

Evaluación

Evaluaremos el curso con tareas bisemanales (i.e. una tarea cada dos semanas), de modo que serán 8 en total. Al final del curso se habrán resuelto aproximadamente 40 problemas, todos con el mismo valor, que constituirán el 100% de la evaluación. Igualmente se dejarán problemas y tareas morales a modo de punto extra durante las clases y las ayudantías, los cuales fungirán como retos a su creatividad y les ayudarán a subir su calificación final.

Dado que se evaluará con tareas se pondrá especial atención al plagio/copia, tanto entre estudiantes como con páginas de internet. Nos reservamos el derecho de anular la tarea correspondiente (o parte de esta) y/o de hacer evaluaciones orales si sospechamos de esta situación.

Reposiciones

• Las tareas estarán agrupadas por eje temático, de los cuales habrá cuatro. Cada estudiante tiene derecho a un examen de reposición (no tarea) de uno solo de estos ejes temáticos. Este reemplazará la calificación de las tareas correspondientes siempre que sea mayor o igual a esta.
• Cada estudiante tiene derecho a un examen final (no tarea), cuya calificación sobreescribe absolutamente todo el trabajo hecho a lo largo del curso, independientemente de si esta es mayor o menor.

Trabajo en clase

• Será obligatorio registrarse en un aula de Google Classroom (el código correspondiente será provisto los primeros días de clase), en donde se harán la mayoría de anuncios correspondientes al curso, así como publicación del material relevante como tareas, notas, videos, etc.
• Los días de la clase con el profesor son lunes, miércoles y jueves.
• Las ayudantías (los martes y viernes) son esenciales para el desarrollo de la clase y NO son opcionales. En ellas se discutirán ejercicios, ejemplos, contraejemplos y problemas que complementen de manera sustancial la teoría vista por el profesor, así como temas en paralelo en algunas ocasiones. Es común utilizar lo visto en la ayudantía durante las clases y viceversa. Así pues, incluiremos en las evaluaciones todo lo discutido en las ayudantías.

Contenido temático

Si bien seguiremos el temario oficial de la facultad, haremos varios cambios en el orden/enfoque/profundidad de los temas a tratar. Pueden consultar el temario oficial en:

https://www.fciencias.unam.mx/sites/default/files/temario/246.pdf

Resumen del temario:

1. Teoría local de curvas.
   1. Curvas en Rⁿ. Ejemplos, orientación, longitud de arco, parametrización por longitud de arco, periodicidad.
   2. Curvas planas. Ejemplos, curvatura, fórmulas de Frenet, índice de rotación, Umlaufsatz de Hopf, teorema de los cuatro vértices, enunciado de la desigualdad isoperimétrica.
   3. Curvas en el espacio. Ejemplos, curvatura y torsión, trihedro de Frenet, fórmulas de Frenet-Serret, teorema fundamental de las curvas en el espacio, curvatura total, ***introducción a la teoría de nudos (definición, isotopías y teorema de Fàry-Milnor).
2. Teoría clásica de superficies en el espacio.
   1. Superficies regulares.
   2. Plano tangente.
   3. Primera forma fundamental.
   4. Campos normales y orientabilidad.
   5. Segunda forma fundamental.
   6. Curvatura.
   7. ***Área superficial e integración en superficies.
   8. ***Algunas clases importantes de superficies.
3. Introducción a la geometría intrínseca de superficies.
   1. Isometrías.
   2. Campos vectoriales y derivada covariante.
   3. Símbolos de Christoffel.
   4. Theorema Egregium.
   5. *** Un vistazo a las geodésicas

Los temas marcados con *** se verán solo si el tiempo lo permite.

Descripción del temario:

Como se mencionó más arriba, el objeto de estudio de la geometría diferencial son las variedades diferenciables. Estas son objetos abstractos que localmente son esencialmente iguales a Rⁿ; esto quiere decir para cada punto en la variedad, si nos acercamos lo suficiente, esta se vuelve casi indistinguible de un espacio euclidiano (como lo que sucede en el planeta Tierra, que localmente se parece a R² aunque sea una esfera con curvatura). Los dos tipos más sencillos de variedad son las curvas suaves (1-variedades) y las superficies regulares (2-variedades), que serán el objeto de estudio del curso.

1. La primera meta del curso es entender en su totalidad el objeto geométrico unidimensional que llamamos curva. Nos aprovecharemos de la teoría desarrollada en Cálculo III para funciones de R en Rⁿ y estudiaremos los conceptos geométricos que las caracterizan: vectores tangentes, normales, binormales, curvatura, torsión, longitud de arco, etc. Haremos un particular énfasis a la longitud de arco, que permite dar coordenadas naturales de la curva para parametrizarla. El estudio se dividirá en tres partes: primero un análisis general de curvas en Rⁿ que posteriormente nos permitirá particularizar en las curvas planas (curvas en R²) y las curvas en el espacio (curvas en R³). En curvas planas hablaremos de resultados interesantes que se relacionan con el número de vueltas que da una curva y el concepto de vértice (como los vértices de una elipse), y veremos que la circunferencia es la curva que maximiza el área encerrada por un perímetro dado. Para curvas en el espacio, además de los temas usuales, intentaremos discutir algunos conceptos sencillos relacionados con la teoría de nudos.
   
2. Tras haber analizado las curvas nos enfocaremos en entender las superficies. A diferencia de las curvas, no es claro de antemano cuál es la mejor manera de definir superficie, pues una simple parametrización no bastará para definirlas. Así, en la primera porción de la unidad nos dedicaremos a buscar una definición conveniente y sacarle tanto jugo como se pueda. Posteriormente construiremos el concepto de plano tangente a una superficie, el cuál nos abrirá las puertas para poder definir conceptos como la derivada de una función entre superficies, campos vectoriales en la superficie y vectores tangentes a curvas encajadas en la superficie, los cuales son fundamentales para poder definir distancias en la superficie (una métrica), campos normales (perpendiculares) a la misma y curvatura en la superficie. Utilizaremos estos resultados para hablar de la curvatura Gaussiana con gran cuidado, buscando siempre entender la geometría que hay detrás de las definiciones analíticas abstractas. Para esta unidad utilizaremos algunos (pocos) resultados sencillos de diagonalización, productos interiores, formas cuadráticas y operadores adjuntos, los cuales ya habrán discutido en sus cursos de Lineal I y II a estas alturas del curso. Si el tiempo lo permite concluiremos la unidad hablandode cómo integrar en estas superficies, así como discutir ejemplos de tipos de superficies (superficies de revolución, superficies regladas, superficies minimales).
   
3. Finalmente, tras haber analizado la geometría de las superficies como objetos encajados en R³, buscaremos estudiar las propiedades intrínsecas de las mismas. Es decir, aquellas características de la geometría de las superficies que son independientes de la forma particular en que se encaja la superficie en el espacio. Veremos que para extraer este tipo de propiedades bastará con conocer una métrica en la superficie (que se puede definir de antemano arbitrariamente, no necesariamente debe heredarse de un espacio ambiente en el que viva la superficie), por lo que estudiaremos las isometrías entre superficies. Veremos como consecuencia de esto que la curvatura de una superficie no depende del encaje particular, sino que es un invariante isométrico; a este resultado se le conoce como Theorema Egregium. Como resultado de la geometría intrínseca podremos ver que hay conceptos análogos a la derivada y la derivada direccional dentro de las superficies, los cuales nos permitirán definir un concepto de “líneas rectas” en la superficie, llamadas geodésicas. Con esto concluiremos el curso, con miras de profundizar más en ideas de geometría intrínseca (y formas diferenciales y tensores) en un curso subsecuente.

Filosofía del curso

• Es importante hacer notar que los cursos de la carrera están interconectados y no constan de conocimeintos aislados (incluso no tendremos miedo de usar herramientas de los otros cursos de los primeros cuatro semestres). Como tal, los animamos encarecidamente a tratar de aplicar todo lo visto en sus demás cursos, así como a utilizar cualquier argumento y/o herramienta de otros cursos, propiamente justificada.
• Se dice a veces que las matemáticas "no son un deporte de espectador" o, en otras palabras, para aprender matemáticas es necesario hacer matemáticas. Se recomienda discutir (mas no copiar) las tareas en grupos de estudio.

Sobre la convivencia

• En nuestros cursos nos adherimos a la política de CERO TOLERANCIA A LA VIOLENCIA DE GÉNERO Y DE CUALQUIER OTRO TIPO, ya sea entre estudiantes, desde el profesor hacia el estudiante, ayudante hacia estudiante, violencia digital, o cualquier otra forma de violencia y/o violencia de género. Aquí también les dejo la declaratoria, que les hago hincapié es muy importante que conozcan.

https://www.gaceta.unam.mx/declaracion-tolerancia-cero-hacia-la-violencia-de-genero-en-las-universidades/

• Asimismo, les recuerdo que nos adherimos a los principios de ética de la UNAM; particularmente a aquellos que tienen que ver con la imparcialidad y transparencia de las evaluaciones.

https://coordinaciongenero.unam.mx/2015/07/codigo-de-etica-de-la-universidad-nacional-autonoma-de-mexico/

• Les invitamos a que si han sufrido alguna situación de violencia de género o si no están segurxs si la han sufrido se acerquen a la Comisión de Equidad quien les podrá brindar ayuda y orientación.

• Para facilitar nuestra convivencia de manera ética, profesional y amena, toda comunicación con el profesor y lxs ayudantes será exclusivamente por el classroom del curso o por correo institucional. No responderemos dudas por otros medios.

Bibliografía

Bär, C. Elementary Differential Geometry. Cambridge University Press, 2010.

Complementaremos con otros (mencionados en clase cuando así se requiera) en partes específicas del curso.