Matemáticas (plan 1983) 2024-2

Optativas de los Niveles VII y VIII, Ecuaciones Diferenciales Parciales I

El curso de ecuaciones en derivadas parciales I esta dirigido a Físicos, Matemáticos Aplicados, Matemáticos y Actuarios. El propósito de este curso es presentar el conjunto de ecuaciones que contienen derivadas parciales, por ser un primer curso solo vamos a tratar las ecuaciones lineales. La forma en que iremos presentando cada grupo de ecuaciones es por medio de modelos físicos que han dado pié a dichas ecuaciones. En cada caso iniciaremos construyendo el modelo físico para luego adentrarnos a los métodos de solución de este tipo de ecuaciones. No es necesario tener conocimientos previos de fìsica para llevar este curso, todo se va a ir construyendo desde cero.

El conjunto de ecuaciones que vamos a estudiar son, en primer lugar las hiperbólicas, tanto las ecuaciones de primer orden como las de segundo orden. Estas ecuaciones estan relacionadas con los fenómenos de propagación de ondas, tanto mecánicos como en fluidos o electromagnéticos. El segundo grupo de ecuaciones son las elípticas, las cuales se relacionan con fenómenos de equilibrio dado principalmente por las ecuaciones de Laplace, aqui vamos a iniciar su estudio viendo problemas elásticos y de esta forma vamos a introducir los distintos métodos de solución donde trataremos los métodos de Green. Finalmente el tercer grupo de ecuaciones son las parabólicas, las cuales se relacionan con problemas de calor, de reacción difusión y con muchos problemas en biología, economía, etc.

Para cursar este curso de ecuaciones en derivadas parciales (EDP) se requiere que los alumnos hayan cursado sus cuatro cálculos, el curso de ecuaciones diferenciales ordinarias I, el curso de variable compleja y de algebra lineal.

Es muy recomendable que los alumnos de Físcia lleven este curso de EDP antes de llevar sus cursos de electrodinámica y cuántica.

Para este curso llevaremos un libro escrito por Antonmaría Minzoni y donde yo he colaborado en escribir algunas secciones. Este libro estará disponible para todos los alumnos del curso. Habra una página donde se colocarán las tareas, los materiales que sean necesarios en el curso, etc.

La forma de calificar sera por examenes y tareas.

El temario del curso es el siguiente:

1. Ecuaciones hiperbólicas: ecuaciones de primer y segundo orden, carac-
terísticas, unicidad.
2. Sistemas de ecuaciones con características: problemas de propagación
en distintos medios, ecuaciones de Maxwell.
3. Ecuaciones el´ıpticas: problemas de membranas, fluidos, etc. Separación
de variables.
4. Separación de variables para ecuaciones con características: ecuaciones
de segundo orden, sistemas de ecuaciones y transformada de Laplace.
Funciones de Green.
5. Ecuación de onda en tres dimensiones: propagación, fórmula de Pois-
son, problemas con valores iniciales.
6. Ecuación de calor: conducción, equilibrio en dos y tres dimensiones.

Bibliografía

a) Apuntes de Ecuaciones en Diferenciales Parciales, Antonmaría Min-
zoni. Serie FENOMEC No. 5 . UNAM.
b) Elementary Applied Partial Differential Equations, Richard Haberman,
Pretince Hall, 1983.
c) Ecuaciones de la F´ısica Matem´atica, A. Tijonov y A. Samarsky, Mir,
1980.mensiones.