Matemáticas (plan 1983) 2024-2

Optativas de los Niveles VII y VIII, Ecuaciones Diferenciales III

Ecuaciones Diferenciales Ordinarias III.

Lunes a viernes de 8 a 9 am.

Salón de seminarios Salicrup del Instituto de Matemáticas.

Resumen del contenido del curso.

El estudio de las ecuaciones diferenciales desde un punto de vista geométrico tuvo sus orígenes con los trabajos de Henri Poincaré. Este giro en el análisis de las ecuaciones diferenciales dio un impulso insospechado al estudio no sólo de las ecuaciones mismas sino a otras áreas de las matemáticas. Una de las muchas ideas introducidas y desarrolladas por Poincaré se basó en encontrar formas de clasificar las ecuaciones diferenciales buscando, por una parte, invariantes de clasificación (formal, analítica y topológica), y por otra, las obstrucciones que pueden surgir para que una ecuación tenga un invariante deseado. Estos razonamientos los realizó analizando a las ecuaciones desde el punto de vista de la variable compleja por lo que las soluciones de las ecuaciones ya no son curvas reales sino superficies. Esto, como puede esperarse, expandió en forma notable la riqueza los alcances de la teoría.

Este es un curso cuyo material es muy disfrutable, pues permite conectar resultados básicos de las matemáticas con ideas muy profundas que abren un panorama muy amplio al alumno. El curso estará enfocado a seguir lugares clave del razonamiento introducido por Poincaré; por consiguiente, nos centraremos en el análisis de campos vectoriales analíticos reales y complejos (en particular polinomiales). En el inicio del curso se demostrarán dos teoremas fundamentales (de Poincaré y de Poincaré-Dulac) sobre la linealización formal y analítica de campos vectoriales y difeomorfismos. Así mismo, se verá la geometría de las soluciones de ecuaciones diferenciales lineales con tiempo complejo. Una buena parte del curso estará centrada en los campos vectoriales definidos por polinomios y en entender el tipo de superficies (de Riemann) que son soluciones de las ecuaciones diferenciales inducidas por éstos (¡lindo material!).

Cuando las ecuaciones diferenciales no tienen parte lineal (es decir, la parte lineal es cero) se requiere introducir una nueva técnica: la explosión o resolución de singularidades. Esta técnica permite analizar aquellas ecuaciones para las cuales los resultados introducidos por Poincaré no pueden ser usados directamente. La técnica por sí misma introduce una gran cantidad de elementos geométricos nuevos e importantes que veremos con cierto detalle.

En particular se verán los siguientes temas:

- Una breve introducción a nociones geométricas de variable compleja (esta introducción es importante para que todos tengan conocimiento del material básico que usaremos y nadie se sienta fuera de lugar).

- Formas normales formales de campos vectoriales analíticos complejos:

Dominio de Poincaré , dominio de Siegel, Teorema de Poincaré y Teorema de Poincaré-Dulac.

- Formas normales formales de difeomorfismos:

Dominio de Poincaré y de Siegel para difeomorfismos. Teorema de Poincaré, Teorema de Poincaré-Dulac.

- Comportamiento geométrico de las soluciones de ecuaciones diferenciales con tiempo complejo.

- Transformación de monodromía (compleja).

- Prolongación analítica y teorema de monodromía.

- Superficies de Riemann como soluciones de ecuaciones diferenciales. Construcción <<a mano>> de las superficies.

- Teorema de Riemann-Hurwitz.

- Extensión a CP^2 de las ecuaciones diferenciales polinomiales definidas en C^2. Geometría de las soluciones.

- Resolución (explosión) de singularidades de campos vectoriales. Geometría de las soluciones.

- Índice de Camacho-Sad.

- Teorema de Poincaré para campos analíticos reales.

-Teorema de Chen para campos diferenciables (sin demostración pero se darán elementos sustanciales de ésta).

-Teorema de Ilyashenko y Yakovenko para campos finito diferenciables (sin demostración pero se darán elementos sustanciales de ésta).

El temario es extenso y todo el material requerido se dará a lo largo del curso. No se requiere haber llevado Ecuaciones diferenciales II, pero si Ecuaciones Diferenciales I, Cálculo I-III y tener nociones básicas de los números complejos. En particular, aunque la veremos a detalle, es bueno conocer la función logaritmo compleja. La asistencia a clase presencial es fundamental (e indispensable) en tanto que el material que se verá combina distintas fuentes. Se espera compromiso total de los alumnos con el curso.

La evaluación se hará mediante exámenes y tareas. Cabe hacer notar que, de considerarlo necesario, nos reservamos la opción de hacer una entrevista-examen individual el caso en que se requiera analizar el aprovechamiento con mayor detalle.

La siguiente bibliografía puede ser de utilidad si bien es mucho más extensa de lo que se verá en el curso (en el curso sólo se verán algunos de los temas ahí incluidos). Atención, los libros son de nivel alto pero en el curso se verá todo el material con detalle (a mano) y a ritmo adecuado para su buena comprensión.

- Ortiz Laura, Palma Jesús Alberto, Pontigo Jessie, Notas del curso.

- Arnold V.I. Geometrical methods in Ordinary differential equations. Springer Verlag.

- Ilyashenko, Yu.S., Yakovenko S., Lectures on Analytic Differential Equations. Graduate Studies in Mathematics 86, AMS, 2008.