Matemáticas (plan 1983) 2024-2

Optativas de los Niveles I, II, III y IV, Conjuntos Convexos

Conjuntos Convexos

Un subconjunto de un espacio vectorial es convexo si el segmento de recta determinado por cualesquiera dos de sus puntos esta contenido en el conjunto, esta definición aunque básica tiene muchas implicaciones geométricas muy interesantes. La convexidad juega un papel importante en diversas áreas de la Matemática como lo es el Análisis Matemático, Geometría, Topología, Programación Lineal, Optimización Convexa etc... así pues un estudio de los conjuntos convexos resulta importante en la formación académica de un alumno de la carrera de Matemáticas. El curso esta enfocado en desarrollar, exponer y discutir los temas más clásicos de convexidad, para que el estudiante, si asi lo desea, profundice más en los temas. Para los estudiantes que ya cursaron calculo 3, podrán encontrar aqui algunas aplicaciones sencillas de los temas de topología básica, para los estudiantes de los primeros dos semestres, el curso les puede servir para que tengan una introducción adecuada a los temas de topología básica, en este curso trataremos de desarrollar las ideas geométricas detrás de estos temas, enfocandonos en la convexidad.

Requisitos: Geometria analitica I, conceptos de espacio vectorial, linealmente independiente y linealmente dependente, buena intuición geometrica.

Forma de trabajo y evaluación

Las clases serán presenciales, sin embargo durante la pandemia grabé el curso en youtube, así que si por algún motivo no puedes asistir a alguna de las clases puedes consultar la siguiente lista de reproducción de youtube:

https://youtube.com/playlist?list=PLj9ww_YXE9UuytcWBbFCxOJsbbWAno9rU

La evaluación será con tareas examen, aproximadamente 4. La tareas examen se dejan con tiempo suficiente para que se puedan resolver con cuidado y pueden ser en equipos o indiviual. Tu promedio final es el promedio de tus tareas examen. Ahora, el trabajo con el ayudante es de la siguiente manera: el ayudante dejará tareas a lo largo del curso, las cuales se entregan con el y al final si tienes todas correctas tendrás un punto extra a tu promedio final (o el equivalente a lo que hayas entregado de estas tareas del ayudante) y estas son opcionales, SI hay reposiciones SI hay examenn final.

Aquellos interesados en el curso mandarme correo a pavelrm@yahoo.com.mx para darles el enlace al grupo de classroom del curso, poner como asunto "conjuntos convexos".

Temario

1. Conjuntos convexos y sus propiedades.

1.1 Definición y propiedades.

1.2 Suma y multiplicación escalar de conjuntos convexos.

1.3 Envolvente convexa y combinaciones convexas.

2. Topología (muy) básica de Rⁿ

2.1 Conjuntos abiertos, cerrados, acotados y compactos.

2.2 Interior, cerradura y frontera.

2.3 Algunas propiedades topológicas de los conjuntos convexos.

2.4 Continuidad (conceptos basicos).

3. Geometría Afín.

3.1 Subespacios afines.

3.2 Combinaciones afines y envolvente afín.

3.3 Subconjuntos afínmente dependiente y afínmente independiente.

3.4 El teorema de Caratheodory.

4. Separación y soporte.

4.1 Hiperplanos.

4.2 Teoremas de separación y soporte.

4.3 La proyección sobre conjuntos convexos.

5. Teorema clásicos de convexidad.

5.1 Puntos extremos y teorema de Krein-Milman.

5.2 El teorema de Minkowski.

5.3 El teorema de Helly y sus implicaciones.

5.4 El teorema de Radon.

6. Funciones Convexas.

6.1 Definiciones, ejemplos y propiedades.

6.2 Función soporte y Funcional de Minkowsky.

6.3 Continuidad y diferenciabilidad.

7. Figuras de ancho constante.

7.1 Definición del ancho de figuras en el plano.

7.2 Figuras de ancho constante y sus propiedades.

7.3 Normales y binormales.

8. El Teorema de Blaschke.

8.1 La métrica de Hausdorff.

8.2 Convergencia de conjuntos con la metrica de Hausdorff.

8.2 El teorema de Blaschke

9. Tema a elegir.

Bibliografia: Lay, Convex sets and their applications; Yaglom I, Boltianski V, Convex figures; Webster, Convexity.