Matemáticas (plan 1983) 2024-2

Optativas de los Niveles VII y VIII, Análisis Matemático IV

Análisis Matemático IV.

Profesor. Dr. Gerardo Sánchez Licea.

Ayudante. Raymundo Díaz Flores.

Todas las evaluaciones tienen el mismo valor, esto es, el promedio es la suma de las tres evaluaciones entre tres.

Temario.

I. Espacios normados, Espacios de Banach.

1.- Espacios normados. Espacios de Banach.

2.- Espacios normados de dimensión finita y Subespacios.

3.- Compacidad y dimesión finita.

4.- Operadores lineales.

5.- Operadores lineales acotados y continuos.

6.- Funcionales lineales.

7.- Espacios normados de Operadores. Espacio Dual.

II. El Teorema de Hahn-Banach.

1.- Forma analítica del Teorema de Hahn-Banach: Extensión de Funcionales lineales.

2.- Formas geométricas del Teorema de Hahn-Banach: Separación de conjuntos convexos.

3.- El Bidual de E^{**}. Relaciones de Ortogonalidad.

4.- Una rápida introducción a la teoría de funciones convexas conjugadas.

III. Principio de la cota uniforme y Teorema de la Gráfica Cerrada.

1.- Teorema de Categoría de Baire.

2.- Principio de la cota uniforme.

3.- Teorema del mapeo abierto. Teorema de la gráfica cerrada.

4.- Subespacios complementarios. Derecha e izquierda invertibilidad de operadores lineales.

5.- Ortogonalidad.

6.- Una introducción a Operadores lineales acotados. Definición del adjunto.

7.- Una caracterización de operadores con rango cerrado. Una caracterización de operadores suprayectivos.

IV. Topilogías Débiles. Espacios Reflexivos. Espacios Separabls. Convexidad uniforme.

1.- La topología más gruesa que hace continuos a una colección de mapeos.

2.- Definiciones y propiedades elementales de la topología débil

3.- Topología débil. Conjuntos convexos, y operadores lineales.

4.- Topología débil^*.

5.- Espacios reflexivos.

6.- Espacios separables.

7.- Espacios uniformemente convexos.

V. Espacios L^P.

1.- Definiciones y propiedades elementales de los espacios L^p.

2.- Reflexividad. Separabilidad, dual de L^p.

3.- Convolución y regularización.

4.- Criterio de compacidad fuerte en L^p.

VI.- Espacios de Hilbert.

1.- Definiciones y propiedades elementales. Proyecciones sobre conjuntos cerrados convexos

2.- Espacio dual de un espacio de Hilbert.

3.- Los teoremas de Stampacchia y Lax-Milgram.

4.- Sumas de Hilbert. Bases ortonormales.

VII.- Operadores compactos. Descomposición espectral de operadores autoadjuntos compactos.

1.- Definiciones. Propiedades elementales. Operador adjunto.

2.- Teoría de Riesz - Fredholm.

3.- Espectro de un operador compacto.

4.- Descomposición espectral de operadores autoadjuntos compactos.

Bibliografía.

Brezis, H., Funtional Analysis, Sobolev Spaces and Partial Differential Equations. New York, Springer, 2011.

Dieudonné, J., Fundamentos de Análisis Moderno. México: Editorial Reverté, 1976.

Evans Lawrence C., Partial Differential Equations, Graduate Studies in Mathematics, American Mathematical Society, 1997.

Kreyszig, E. Introductory Functional Analysis with Aplications. Canada. Wiley, 1978

Royden, H. L., Real Analysis. New York: Macmillan, 1988.

Rudin, W., Principios de Análisis Matemático (3ra ed.). México: McGraw–Hill, 1980.