Matemáticas (plan 1983) 2024-2

Optativas de los Niveles VII y VIII, Álgebra Moderna III

Bienvenidos al curso de Anillos y Teoría de módulos. En este curso estudiaremos objetos algebráicos llamados módulos y morfismos entre ellos, que generalizan la teoría de espacios vectoriales y transformaciones lineales. En estas estructuras, los escalares son elementos de un anillo unitario no necesariamente conmutativo, por lo que inicaremos el curso con el estudio elemental de anillos no conmutativos.

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A continuación les presento el temario del curso.

TEMARIO:

I. Anillos no conmutativos

1. Anillos, propiedades aritméticas, sub-anillos.

2. Ideales izquierdos, derechos y bilaterales.

3. Ideales maximales, minimales, primos, finitamente generados. Producto y suma de ideales.

4. Anillo cociente y Teoremas de isomorfismo

5. Condiciones de cadena, anillos artinianos y neterianos.


II. Módulos

1. Módulos a la izquierda, a la derecha y bimódulos.

2. Morfismos de módulos, isomorfismos, epimorfismos, monomorfismos, submódulos y módulo cociente.

3. Núcleo, imagen y conúcleo de un morfismo.

4. Submódulo generado por un conjunto

5. Intersección y suma de submóduloa

6. Teoremas de isomorfismo

7. Condiciones de finitud



III. Construcciones universales

1. Producto fibrado y suma amalgamada de morfismos.

2. Igualadores y co-igualadores de morfismos.

3. Producto, co-producto y bi-producto de módulos.

4. Suma directa interna de sub-módulos.



IV Sucesiones exactas

1. Sucesiones exactas, retracciones y secciones

2. Sucesiones exactas que se escinden

3. Lema del 3, Lema del 5 y Lema de la serpiente.



V. Algunos módulos especiales

1. Módulos libres

2. Módulos de torsión y libres de torsión

3. Módulos finitamente generados sobre un dominio de ideales principales

4. Módulos proyectivos e inyectivos



VI. Categorías de Módulos

1. Categorías abelianas

2. Funtorea, funtores aditivos, transformaciones naturales y funtores adjuntos

3. Exactitud de funtores

4. Los funtores Hom y producto tensorial.

5. Módulos planos

6. Caracterización de los módulos proyectivos e inyectivos a través de los funtores Hom.


BIBLIOGRAFIA:

1. Joseph Rotman, Advanced Modern Algebra, 3a edición, Graduate Studies in Mathematics, vol 165, AMS.

2. Anderson-Fuller, Rings and Categories of Modules, 1992, Springer-Verlag.

EVALUACION:

La evaluación se hara en base a tareas que se subirán al classroom. Se les enviará la tarea en archivos pdf y tex, con la finalidad de que entreguen su tarea en pdf. También se creará un chat en telegram para poder tener comunicación más eficiente, para preguntar dudas y dar avisos.

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