Matemáticas (plan 1983) 2024-2

Optativas de los Niveles V y VI, Álgebra Moderna II

El propósito de este curso es, por un lado, introducir a los estudiantes a la teoría de anillos y factorización en anillos y, por otro, a la teoría de Galois, que a grandes rasgos estudia simetrías de soluciones a ecuaciones polinomiales. Uno de los grandes resultados de la teoría de Galois, que veremos en clase, es la insolubilidad de la ecuación de grado 5: existen ecuaciones polinomiales de grado 5 con coeficientes enteros cuyas soluciones no pueden expresarse a partir de números racionales utilizando solamente operaciones algebraicas elementales (suma, resta, multiplicación, división, raíces y potencias).

Prerrequisitos: Se asumirá conocimiento del material de los cursos de Álgebra Lineal I y Álgebra Moderna I. Así mismo, familiaridad con temas básicos de variable compleja (raíces de la unidad, conjugación de números complejos) es esperada.

Temario (Los temas marcados con * son opcionales, y se cubrirán dependiendo del tiempo e interés del grupo)

1. Anillos y campos

1.1 Definiciones

1.2 Ideales primos y máximos

1.3 Dominios enteros

1.4 El campo de fracciones de un dominio entero

1.5 Anillos de polinomios

2. Factorización

2.1. Dominios de ideales principales, de factorización única y dominios euclidianos

2.2. Lema de Gauss

2.3. Criterio de Eisenstein

2.4. Enteros de Gauss y enteros algebraicos

2.5. Factorización de ideales

3. Campos

3.1. Ejemplos

3.2. Extensiones de campos y adjunción de raíces

3.3. Elementos algebraicos y trascendentes

3.4. El grado de una extensión de campos

3.5. Campos finitos

3.6. Construcciones con regla y compás

4. Teoría de Galois

4.1. Automorfismos de campos y grupo de Galois

4.2. Extensiones normales y campos de descomposición

4.3. Extensiones separables y puramente inseparables

4.4. El teorema principal de la teoría de Galois

4.5. Extensiones ciclotómicas

4.6. Soluciones por radicales

4.7. La insolubilidad de ecuaciones de grado 5

5*. Funciones simétricas

5.1.* Funciones simétricas elementales

5.2.* El discriminante de un polinomio

5.3.* Sumas de potencias, funciones simétricas completas, y funciones simétricas monomiales

5.4.* Cambios de base

6*. Bases de Gröbner

6.1.* Órdenes monomiales

6.2.* Los órdenes lex y deglex

6.3.* Existencia de bases de Gröbner

6.4.* Cálculos con bases de Gröbner

Calificaciones: Habrá tarea cada dos semanas, que contará por 60% de la calificación. El 40% restante se evaluará con 4 exámenes parciales, que serán en días de ayudantía y cuya fecha exacta se dará a conocer con al menos dos semanas de anticipación. Durante la semana de finales, se podrá reponer cualquier número de exámenes parciales. No hay reposición de tareas. En principio, no se otorgará NP. Las excepciones son las siguientes:

1. No haber entregado ninguna tarea o examen a lo largo del semestre.

2. Por causa de fuerza mayor, debidamente justificada.

Bibliografía: Seguiremos principalmente los siguientes textos:

John B. Fraleigh, A first course in abstract algebra. 7th edition. (Capítulos IV, V, VI, IX y X)

Michael Artin, Algebra. 2nd edition. (Capítulos 10, 11, 13 y 14)

Honestidad académica: Las tareas se entregarán de manera individual. Se alienta a que las, los y les estudiantes discutan la tarea entre sí. Sin embargo, en cada tarea deberán escribir los nombres de todas las compañeras, compañeres y compañeros con los que discutieron. Si se detecta plagio en cualquier material que entreguen, la calificación en dicho trabajo será 0. Si se reincide en el plagio, la calificación final del curso será 5.

Contacto: Para cualquier aclaración, pueden escribirme a simental@im.unam.mx. Mi oficina está en el Instituto de Matemáticas, Cubículo 218.

Habrá un grupo de Classroom, el cual se utilizará para compartir tareas y anuncios.

Enlace de Google Classroom: https://classroom.google.com/c/NjI4MjY0OTAyNzEw?cjc=6fxt57l

Última actualización: 24 de Enero 2024