Matemáticas (plan 1983) 2024-2

Sexto Semestre, Análisis Matemático II

Forma de trabajo y evaluación

Las clases serán presenciales, sin embargo durante la pandemia grabé el curso en youtube, así que si por algún motivo no puedes asistir a alguna de las clases puedes consultar la siguiente lista de reproducción de youtube:

https://www.youtube.com/playlist?list=PLj9ww_YXE9UvUlxDhpZ6P3W8P1KT-fDTi

La evaluación será con examenes y tareas examen, aproximadamente 4. La tareas examen se dejan con tiempo suficiente para que se puedan resolver con cuidado y pueden ser en equipos o indiviual, los examenes son individuales. Tu promedio final es el promedio de tus tareas examen y examenes. Ahora, el trabajo con el ayudante es de la siguiente manera: el ayudante dejará tareas a lo largo del curso, las cuales se entregan con el y al final si tienes todas correctas tendrás un punto extra a tu promedio final (o el equivalente a lo que hayas entregado de estas tareas del ayudante) y estas son opcionales, SI hay reposiciones SI hay examenn final.

Aquellos interesados en el curso mandarme correo a pavelrm@yahoo.com.mx para darles el enlace al grupo de classroom del curso, poner como asunto "Análisis Matemático II".

Análisis Matemático II

La primer parte del curso será dedicada a estudiar espacios de funciones como los son los espacios de funciones continuas C[a,b], C(K) con K compacto, el espacio de funciones acotadas B[a,b], espacio de funciones de variación acotada BV[a,b] etc... para esto estudiaremos primero la convergencia uniforme (convengencia en la norma del supremo) y probaremos teoremas importantes en estos espacios.

La segunda parte del curso esta dedicada a estudiar la integral de Lebesgue, los conceptos de sigma álgebra, medida, funcion medible etc.. probaremos teoremas importantes con respecto a convergencia con esta integral como el teorema de convergencia monotona y el teorema de convergencia dominada y varios mas, veremos además la relación de esta integral con la integral de Riemann usual.

Una tercera parte, si da tiempo, estará enfocado en estudiar la integral de Riemann-Stieltjes, en la que abarcaremos los conceptos básicos de esta integral y algunos resultados importantes, esta integral es una generalizacón inmediata de la clásica integral de Riemann y es usada en algunas areas de la Matemática.

El curso aunque obligatorio para matemáticos, son bienvenidos estudiantes de actuaria y fisica que necesiten profundizar en los temas de espacios de funciones y teoría de la medida en R.

Temario.

Parte I: Espacios de funciones

1. Convergencia uniforme.
2. El teorema de Stone-Weiertrass.
3. Equicontinuidad
4. El teorema de Arzela- Ascoli.

Parte II: Integral de Lebesgue en R.

1. Sigmas álgebras
2. Medidas
3. funciones medibles
4. la integral de Lebesgue y sus propiedades
5. El teorema de la convergencia monotona
6. El teorema de la convergencia dominada
7. La relación de la integral de Riemann y la integral de Lebesgue
8. Espacios L_{p}

Parte III: Integral de Riemann-Stieltjes

1. Definición
2. Propiedades
3. Criterios de integrabilidad
4. Teorema de integración por partes

Requisitos: Un buen curso de Análisis Matemático I, manejo de los conceptos de convergencia, continuidad y topologia en espacios métricos, ganas de hacer cuentas y desigualdades.

Bibliografia: Carothers, Real Analysis. Apostol, Análisis Matemático, Folland G. Real Analysis. Bartle, Elements of integration, D. L Cohn Measure theory.