Matemáticas (plan 1983) 2024-2

Quinto Semestre, Variable Compleja I

El curso de Variable Compleja 1, es una introducción al Análisis Complejo, donde cada elemento del conjunto de los números complejos, está representado por un punto perteneciente al plano bidimensional o plano cartesiano, mediante una relación biunívoca llamada multiplicación compleja, el concepto de función de variable compleja, establece una relación del plano bidimensional llamado plano complejo al plano complejo, donde se visualizan el conjunto de sus imágenes en un subconjunto de dicho plano, mientras que los conceptos de Limite y Continuidad en un punto dada una función de variable compleja, se conciben en términos de épsilon y deltas que conllevan a utilizar distancias llamadas normas que bajo el Analísis Complejo se llamarían módulos, como se vieron en los cursos de Calculo Diferencial e Integral 1 y 3.

Algunas funciones de Variable Compleja representan Transformaciones Lineales y Bilineales del plano complejo al plano complejo, por ejemplo, la función exponencial compleja, representa una rotación del plano complejo quitando el origen, se verían ejemplos de Reflexión, Inversión, Traslación, otras funciones de variable compleja con una regla de asignación, llegan a establecer, el conjunto de sus imágenes ciertos lugares geométricos, por ejemplo Elipses, Círculos, La Lemniscata, Parábolas, hipérbolas.

Veremos los conceptos de Diferenciabilidad compleja y el de Analiticidad en un punto dado una función de variable compleja, tenemos que ver, a detalle cuales son las condiciones para la existencia de la derivada compleja en un punto, dada una función de variable compleja, mientras que el Teorema de Cauchy-Riemann, establece un criterio de Analiticidad en un punto de una función.

Existen tres criterios de Analiticidad que son:

1. Cumpliéndose las condiciones del Teorema de Cauchy- Riemann
2. Que la función sea una transformación conforme, es decir que preserva ángulos de un plano sobre otro.
3. Que la función se represente por un campo vectorial bidimensional irrotacional y sin fuentes.

El siguiente Tema sería la integración y como se configura en el plano complejo, por otro lado, el Teorema de Cauchy, establece la anulación del valor de la integral de línea sobre un subconjunto del plano complejo determinado por una trayectoria cerrada simple, si el integrando es una función analítica. Existe un reciproco para este último Teorema, llamado el Teorema de Moreira.

hay una importante relación llamada Formula Integral de Cauchy, que desencadena varias aplicaciones incluyendo varios Teorema importantes, como el Teorema de Taylor.

El último tema serían, las llamadas series de Potencias, que representan una función Analítica mientras que algunas series se desarrollan sobre una singularidad, las llamadas series de Laurent. Una singularidad en un punto del plano complejo se determina cuando ese punto no existe la derivada compleja.

Los temas sobre Cálculos de Residuos, se verían, pero no entrarían en la última evaluación.

El libro base del curso es el Marsden, "Principios de Análisis Complejo", donde el contenido de los tres principales capítulos es el Temario del curso. Como complemento alojare textos complementarios y ejercicios resueltos, conforme avancemos en los temas, en la plataforma llamada Classroom, el cual para los alumnos inscritos se deberán darse de alta, utilizando un correo con dominio Gmail, ya que se creará el Classroom utilizando dicho dominio. El curso es presencial y se respetarán los horarios establecidos.

Se Evaluará aplicando tres tareas-examen, donde la primer Tarea- examen consta de los temas del primer capítulo del libro mencionado, mientras que la segunda tarea -examen abordaría el contenido del segundo capítulo, la última evaluación seria en relación con el capítulo tres. Podrán reponer dos evaluaciones como máximo, todo alumno inscrito en el curso tendrá derecho a presentar en tiempo y forma un examen final.

Los ejercicios resueltos que se alojen en la platarforma son de diferentes autores de libros de Analísis Complejo, la mayoría son del Libro que se tomara como base del curso.