Matemáticas (plan 1983) 2024-2

Cuarto Semestre, Cálculo Diferencial e Integral IV

Bienvenidos a su curso de Cálculo Diferencial e Integral IV

Consideraciones generales:

• El curso se impartirá de manera presencial en un horario de lunes a viernes de 14:00 a 16:00 horas.

• Habrá 3 clases teóricas a la semana y 2 clases de ayudantía, con una duración aproximada de 2 horas cada una. Los días de clase y de ayudantía están por determinarse.

• La primer clase será el lunes 29 de enero a las 14:00 horas, donde se les explicará de manera detallada lo que se trata en esta presentación y podrán conocer a sus profesores.

• Se hará un grupo de Classroom en el cual se harán los avisos que correspondan al curso y se subirá material auxiliar, ya sean notas o libros que vayamos usando durante el curso. Código: iw2ioja

Nuestro objetivo principal es que ustedes puedan aprender de una manera sencilla y divertida, somos conscientes de que cálculo es una de las materias centrales de varias carreras, por lo que es importante que adquieran dos tipos de habilidades en este curso:

• Que comprendan la teoría que está detrás del concepto de integral, sus consecuencias y que adquieran la madurez matemática suficiente para manejar conceptos relacionados al de la integral.
• Que sepan resolver distintos tipos de integrales que se les puedan presentar al momento de querer estudiar otras disciplinas.

El temario que se abordará en el curso, busca abarcar a grandes rasgos el contenido del temario oficial por lo que comenzaremos motivando el concepto de integral y daremos una manera de construir la integral. Luego veremos formas de calcular integrales y definiremos varios tipos de integrales (de superficie y de linea). También veremos una introducción a las sucesiones y series de funciones pues así lo requiere el temario oficial. A continuación se presenta el temario propuesto para el curso:

1. Integral de Riemann-Darboux.

• Construcción de la integral de Riemann-Darboux y sus propiedades básicas.

• Conjuntos Jordan-medibles e integrales sobre conjuntos Jordan-medibles.

2. Cálculo de integrales.

• Integrales iteradas.

• Cálculo de integrales sobre otros conjuntos.

• El Teorema de Cambio de Variable y cambios de variable importantes (coordenadas polares, cilíndricas, esféricas).

3. Integrales sobre curvas.

• Curvas y trayectorias.

• Integral de línea para funciones escalares.

• Integral de línea para funciones vectoriales.

• El rotacional en el plano, Teorema de Green y el rotacional en otros sistemas coordenados.

• Divergencia en el plano.

• El rotacional en el espacio ℝ³.

• Campos conservativos.

4. Integrales sobre superficies.

• Superficies y área de una superficie.

• Integral de superficie de funciones escalares.

• Integral de superficie de funciones vectoriales.

• El Teorema de Stokes, campos vectoriales y el rotacional en coordenadas esféricas.

• Divergencia y Teorema de Gauss (Teorema de la divergencia).

• Campos solenoides.

5. Sucesiones y series de funciones.

• Convergencia uniforme y convergencia puntual, diferencias.

• La prueba M de Weierstrass.

• Propiedades que preserva la convergencia uniforme.

• El teorema de Stone-Weierstrass.

6. Variedades parametrizadas y formas diferenciales. (Sin evaluación)

• Variedades parametrizadas.

• Formas diferenciales y derivada exterior.

• Integración de formas diferenciales.

• Teorema de Stokes.

• Formas diferenciales exactas.

• Breve comentario sobre variedades diferenciables.

7. Introducción a la Teoría de la Medida. (Sin evaluación)

• Sigma álgebras y medidas.

• Medida exterior de Lebesgue.

• Conjuntos Lebesgue medibles.

• Integral de Lebesgue.

Nota importante: Los temas 6 y 7 no se evaluarán, están pensados para que puedan ver algunas generalizaciones de los temas que veremos en el curso, las cuales son importantes en el aspecto teórico de la teoría de integración. Procuraremos avanzar lo suficiente con el temario del curso para poder ver los últimos dos temas en la última semana de clases del curso, de una manera breve y bastante resumida.

Referencias:

• Páez, J. Cálculo integral de varias variables. Las prensas de ciencias (referencia principal).

• Marsden, J. E., & Tromba, A. Cálculo vectorial. Addison-Wesley.

• Spivak, M. Calculus on manifolds: a modern approach to classical theorems of advanced calculus. CRC press.

• Rudin, Walter. Principles of Mathematical Analysis. International Series in Pure and Applied Mathematics (para el quinto tema).

• Lee, J.M. Introduction to Smooth Manifolds. Springer.

• N.L. Carothers. Real Analysis. Cambridge University Press.

La forma de evaluación queda conformada como sigue:

Evaluación:

• Se realizarán 4 exámenes parciales, el contenido de cada examen se decidirá en base al avance que se lleve en el curso al momento de su aplicación. Abarcarán los temas 1 al 5, los temas 6 y 7 no se evaluarán. Se aplicarán aproximadamente cada mes.

• La evaluación consistirá 100% en exámenes parciales.

• Los exámenes parciales se realizarán los sábados y tendrán una duración base de 4 horas, la cual se puede extender si las posibilidades lo permiten.

• Tienen derecho a realizar hasta 2 reposiciones, se conservará la calificación más alta.

• Pueden hacer examen final y se quedará la calificación más alta entre el final y su promedio general obtenido durante el curso.

• No es necesario aprobar todos los exámenes parciales.

• Los alumnos pueden renunciar a su calificación final, en cuyo caso se les asignará NP.

Somos conscientes de que tener una evaluación conformada en su totalidad por exámenes parciales puede ser algo "agotador", sin embargo, consideramos que es una excelente manera de poder observar su desempeño individual y su comprensión de los temas. A manera de "compensación", proponemos tener una manera adicional de mejorar su promedio obtenido en cada exámen parcial por lo que se propone lo siguiente:

Evaluación adicional:

• En cada evaluación parcial se dejará una "pregunta rescate" que puede sustituir a la pregunta con calificación más baja obtenida en el examen parcial correspondiente.

• Cada alumno tiene derecho a entregar una pregunta rescate por cada evaluaciones parcial (por lo que el alumno tiene un 25% de calificación que puede compensar con dichas preguntas).

• Las preguntas rescate buscan evaluar su desempeño de manera no presencial, por lo que la pueden hacer en casa y subirla al classroom del curso en las fechas que se indiquen.

• Si el tiempo lo permite, se dejará una exposición final donde expliquen algún tema del curso que se les asigne para poder subir su promedio final que hayan obtenido después de promediar sus exámenes parciales.

Cualquier duda no duden en contactarnos a los correos

• danielc21@ciencias.unam.mx

• heliosfarrell98@ciencias.unam.mx

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