Matemáticas (plan 1983) 2024-2

Cuarto Semestre, Cálculo Diferencial e Integral IV

1. El principal objeto de estudio de Cálculo IV es el concepto de integral de Riemann para funciones ƒ de ℝn en ℝ. En particular, si n = 2, ƒ está definida en un rectángulo A = [a,b]×[c,d] y ƒ es no negativa, la integral representa el volumen bajo la gráfica de ƒ, de manera análoga al caso de una variable en el que la integral representa el área bajo la curva. El caso n = 2, cuyo contenido geométrico es tan “palpable”, será nuestro punto de partida. Posteriormente podremos generalizar, sin demasiada dificultad, a dimensiones mayores.

Así, una parte fundamental del curso es construir este concepto de integral —en muchos aspectos semejante al caso de una variable, pero también con peculiaridades propias— y proceder al estudio de sus propiedades centrales, especialmente a la problemática de caracterizar las funciones integrables; es decir, al análisis de las condiciones necesarias y suficientes para que una función sea integrable en un rectángulo.

Una vez realizado lo anterior habrá que encarar el problema de cómo calcular estas integrales. Afortunadamente, el curso de cálculo 2 ya nos proporcionó un arsenal de métodos de integración que nos serán de mucha utilidad. Aquí requeriremos de dos teoremas básicos: el de Fubini y el de Cambio de Variable, teorema especialmente importante (y complejo).

2. La siguiente parte fundamental del curso abordará las nociones de integral de línea, de superficie y de volumen, y los teoremas de Green, Stokes y Gauss. En mi opinión, la mejor forma de abordar estos temas es a través de nociones de Física, muy especialmente de los conceptos de trabajo y el de flujo de un fluido a través de una superficie. Veremos que, junto con la Física, hay un fuerte contenido geométrico e incluso topológico, por el tipo de objetos (curvas y superficies, entre otros) donde vamos a andar integrando.

3. A estas dos partes fundamentales, constitutivas del curso, le agregaremos una tercera. Se trata de los teoremas de la función implícita y de la función inversa. Aunque estos resultados se deberán ver con mayor detalle y profundidad en cursos más avanzados, aquí haremos su “presentación ante el público”, buscando evidenciar su interesante naturaleza geométrica.

Por último, aquí y allá habremos de desarrollar nociones necesarias de topología de conjuntos y sus conexiones con la continuidad o la diferenciabilidad de funciones.

Forma de calificar

El 100% de la calificación provendrá de los exámenes parciales (la mayoría, individuales y algunos pocos por equipo en modalidad de tarea-examen).

Por otro lado, como preparación para sus exámenes, de manera sistemática se dejarán tareas (de entrega opcional por equipos), cuyo promedio, bajo ciertas condiciones, les servirán como puntuación extra sobre su calificación final.

Todos los detalles al respecto se darán a conocer el 1er día de clase.

Bibliografía mínima

• El libro del profesor Javier Páez, Cálculo integral de varias variables, publicado por la Facultad de Ciencias, 2012.
• El libro de Apostol, Calculus, Volumen 2, Ed. Reverté, 1980.
• El libro de Marsden y Tromba, Cálculo Vectorial, Pearson, 1998.
• El libro de Spivak, Cálculo en Variedades, Ed. Reverté, 1979.