Matemáticas (plan 1983) 2024-2

Cuarto Semestre, Álgebra Lineal II

1. Introducción

El segundo curso de álgebra lineal retoma el estudio de los operadores lineales y nos brinda herramientas para entender cómo actúan sobre su dominio. Algunos de ellos (cuyas matrices son diagonalizables) se asocian a una colección de espacios propios que bastan para describir su acción sobre todo el espacio, pero otros no tienen matrices diagonalizables. En algunos casos, esto ocurre porque tienen valores propios que no están en el campo donde el espacio vectorial toma escalares; en otros, porque ningún conjunto de vectores propios completa una base del espacio vectorial. Esto lleva a hablar de las formas canónicas.

Como posiblemente vieron en el primer curso de álgebra lineal, el producto interior es una operación que nos permite hablar de ángulos, normas y distancias y en general geometrizar en un espacio vectorial. También nos permite usar bases formadas por vectores ortogonales entre sı́, que facilitan enormemente la determinación de las coordenadas de cualquier vector en términos de la base, y nos lleva a preguntarnos cuándo podemos diagonalizar un operador lineal
usando una base ortonormal del espacio.

Aprovechando todo el conocimiento que ya tenemos de transformaciones lineales, hablamos también de funciones (“formas”) bilineales y cuadráticas. Estas últimas nos dan la base para demostrar el criterio de la segunda derivada para la determinación de máximos y mı́nimos de funciones de varias variables reales que toman valores reales que se enuncia en Cálculo III.

2. Temario oficial

En el curso se cubren, al menos, los temas del temario oficial de la materia, si bien el orden en que se abarcan puede diferir del que se da:
1. Formas bilineales y cuadráticas; operadores lineales
2. Diagonalización
3. Triangulación
4. Teorema espectral
5. Forma canónica de Jordan

3. Método de enseñanza y evaluación

El curso se impartirá usando una combinación de clases, ayudantı́as y asesorı́as presenciales. Ocasionalmente pueden subirse al classroom videos cortos pregrabados que apoyen o complementen el material visto en el salón. Las clases teóricas serán generalmente los lunes, miércoles y jueves, dejando el martes y viernes a las ayudantías (si bien ocasionalmente podremos modificar esto).

Las asesorı́as en general se darán a una persona, o a un grupo pequeño de estudiantes. Se agendan a solicitud del grupo o persona y permiten que los conozcamos mejor y podamos resolver sus dudas “en corto”. Tanto Ehécatl como Natalia podemos brindarles asesorı́a cuando la requieran.

La calificación se obtendrá por medio de 4 o 5 evaluaciones parciales, cada una de las cuales se compondrá por una tarea y un examen, que valen respectivamente 30 % y 70 % de la calificación. Las tareas pueden resolverse en equipo, pero deben entregarse en forma individual en la fecha y horario indicados. Cada dı́a de atraso ocasiona la disminución de un punto en la máxima calificación sobre la que se evalúa la tarea. Para los exámenes no hay tolerancia en la hora y fecha de entrega y se resuelven y entregan individualmente.

Al terminar las evaluaciones parciales habrá aún un examen de convalidación. Éste es un examen sencillo, orientado a averiguar si se tienen los conocimientos fundamentales del curso (llamado examen de convalidación de conocimientos). Los alumnos que no obtengan una calificación aprobatoria (6 o más) deberán presentar el examen final si desean aprobar el curso, y éste será el que determine su calificación. Quienes obtengan más de 6 tendrán, por cada punto completo por encima del 6 que tengan, una décima adicional sobre su promedio de los parciales. Ası́, un promedio de 8.4 sube a 8.6 si se obtuvo 8 en el examen de convalidación. Todas las calificaciones inferiores al 6 son reprobatorias. Las calificaciones aprobatorias se redondean al entero inmediato superior se tienen 5 décimas o más por encima del entero correspondiente (por ejemplo, 8.5 sube a 9; 8.49, no). En la segunda vuelta de exámenes finales se pueden presentar hasta dos reposiciones de exámenes parciales o el examen final. Las reposiciones pueden sustituir sólo el examen o el promedio de tarea y examen, según convenga a cada estudiante. El examen final es, él solo, el que da la calificación del semestre.

Referencias

Sheldon Axler. Linear algebra done right. Springer Nature, 2023.
Stephen H Friedberg, Arnold J Insel, and Lawrence E Spence. Linear algebra, volume 4. Pearson Essex, NJ, USA, 2014.
Serge Lang. Linear Algebra. Addison-Wesley Publishing Company, 1972.
Peter D Lax. Linear algebra and its applications, volume 78. John Wiley & Sons, 2007.
David C Lay. Linear algebra and its applications. Pearson Education India, 2003.
Gilbert Strang. Linear algebra and its applications. Academic Press, New York, 14, 1980.
Sergi Treil. Linear algebra done wrong. 2016.