Matemáticas (plan 1983) 2024-2

Tercer Semestre, Cálculo Diferencial e Integral III

• Funciones de ℝ en ℝ^n como curvas en el espacio, límites y derivadas en términos de las componentes.
• La diferencial de una curva en el espacio, velocidad y el vector tangente, rapidez.
• Propiedades de los límites y la derivada con respecto a la suma y el producto.
• Curvas rectificables, longitud de arco, parametrización unitaria por longitud de arco, comparación de parametrizaciones.
• Normal principal, curvatura, torsión y plano osculador.
• Espacios normados (una breve introducción)*

• Conjuntos abiertos, cerrados, frontera. Definición para un conjunto de interior, cerradura, frontera, etcétera.
• Caracterización de compactos, prueba del teorema de Heine y Borel (opcional), producto de compactos.
• Conexidad, ejemplos.
• Teoremas de continuidad en compactos o en conexos, ejemplos.
• Teorema de Bolzano y Weierstrass.
• Funciones continuas en compactos.

• Límites y continuidad.
• Topología y continuidad.
• Conjuntos de nivel y gráficas.
• Diferenciabilidad, propiedades, derivadas direccionales y derivadas parciales.
• Gradiente de una función, propiedades: dirección de máximo cambio, definición de puntos críticos, ortogonalidad del gradiente a los conjuntos de nivel.
• Teorema del valor medio, criterio de diferenciabilidad en términos de las parciales, derivadas de orden superior, plano tangente a una superficie.

• Diferenciales de orden k, aproximación por polinomios de Taylor, ejemplos.
• Diferenciabilidad, Jacobiano y regla de la cadena,
• Teoremas de la función inversa e implícita y ejemplos.
• Puntos críticos, formas cuadráticas definidas positivas, diagonalización y criterios de positividad, aplicación a hessianos para detectar máximos, mínimos y puntos silla.
• Máximos y mínimos con restricciones (multiplicadores de Lagrange) y ejemplos.